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Physique statistique
d’occupation d’un niveau à une particule est faible, ce qui est le cas pour un gaz classique, l’indiscernabilité des particules implique une réduction d’un facteur égal à N!
(cf. section 5.4) du nombre de micro-états accessibles. Cela provient de ce que les configurations associées aux N! permutations possibles des N particules ne doivent conduire
qu’à un seul micro-état. Par conséquent :
Z =
z N
N!
(1)
Exemple. Afin de bien comprendre le sens physique du facteur N! intervenant dans l’expression (1), considérons l’exemple très simple où l’on a deux particules discernables a et b sans
interaction et deux niveaux d’énergie, E 1 et E 2 . La fonction de partition s’écrit :
Z =
{M2}
e −b(E i + E j )
(2)
où la somme porte sur l’ensemble {M 2 } de tous les microétats à deux particules (i, j = 1 ou 2).
Les particules étant discernables et sans interaction, elles peuvent occuper les niveaux d’énergie
à une particule, E i , de façon complètement indépendante. Par conséquent :
Z =
{M2}
e −b(E i + E j ) =
⎛
⎝
{M1}
e −bE i
⎞
⎠
⎛
⎝
{M11}
e −bE j
⎞
⎠ = z a z b
(3)
où {M 1 } est l’ensemble des microétats à une particule. Les quantités Z a et Z b sont les fonctions
de partition associées aux particules a et b, respectivement. Les configurations représentées sur
la figure 1a, pour E 1 = E 2 , sont différentes lorsque les deux particules sont discernables. Ce n’est
pas le cas si les deux particules sont indiscernables et on ne doit compter alors qu’une seule
configuration. Par conséquent, si E 1 = E 2 , le nombre de configurations qui sont accessibles aux
particules indiscernables doit être divisé par 2 ! =2. Pour N particules placées sur N niveaux différents, le facteur de réduction serait égal à N!. Le raisonnement précédent présente néanmoins
une faille. En effet, il peut exister des configurations où plusieurs particules sont sur le même
niveau d’énergie. Dans ce cas, le facteur de réduction N! est incorrect. Pour illustrer ce point,
reprenons l’exemple des deux particules exposé ci-dessus. Si E 1 = E 2 on a une seule configuration (figure 1b), que les particules soient discernables ou non. Il n’y a donc pas 2 ! micro-états en
moins pour cette configuration particulière. Pour un gaz classique, il se trouve que la probabilité
pour qu’un niveau d’énergie donné soit occupé par une particule est petite comparée à l’unité
car le nombre de micro-états disponibles est généralement bien supérieur au nombre de particules (rappelons que pour un gaz parfait le nombre de micro-états dont l’énergie est inférieure à
E croît comme E
3N/2 ). Comme la probabilité pour qu’il y ait plusieurs particules sur un niveau
d’énergie dégénéré peut être négligée, le nombre de micro-états d’un système de N particules
indiscernables est N! fois plus petit que celui d’un système de particules discernables. L’erreur
commise provenant d’une occupation multiple d’un ou plusieurs niveaux est tout à fait négligeable. Pour illustrer ce dernier point, considérons le problème suivant où l’on met, au hasard,
deux boules différentes dans N boîtes différentes (on est autorisé à mettre deux boules dans la
même boîte). Il y a N choix différents pour chaque boule, soit au total N
2 configurations. Parmi
celles-ci, N(N − 1) correspondent à la situation où les deux boules sont dans des boîtes différentes. Il y a donc N
2
− N(N − 1) = N configurations où les deux boules sont dans la même boîte.
Physique statistique
d’occupation d’un niveau à une particule est faible, ce qui est le cas pour un gaz classique, l’indiscernabilité des particules implique une réduction d’un facteur égal à N!
(cf. section 5.4) du nombre de micro-états accessibles. Cela provient de ce que les configurations associées aux N! permutations possibles des N particules ne doivent conduire
qu’à un seul micro-état. Par conséquent :
Z =
z N
N!
(1)
Exemple. Afin de bien comprendre le sens physique du facteur N! intervenant dans l’expression (1), considérons l’exemple très simple où l’on a deux particules discernables a et b sans
interaction et deux niveaux d’énergie, E 1 et E 2 . La fonction de partition s’écrit :
Z =
{M2}
e −b(E i + E j )
(2)
où la somme porte sur l’ensemble {M 2 } de tous les microétats à deux particules (i, j = 1 ou 2).
Les particules étant discernables et sans interaction, elles peuvent occuper les niveaux d’énergie
à une particule, E i , de façon complètement indépendante. Par conséquent :
Z =
{M2}
e −b(E i + E j ) =
⎛
⎝
{M1}
e −bE i
⎞
⎠
⎛
⎝
{M11}
e −bE j
⎞
⎠ = z a z b
(3)
où {M 1 } est l’ensemble des microétats à une particule. Les quantités Z a et Z b sont les fonctions
de partition associées aux particules a et b, respectivement. Les configurations représentées sur
la figure 1a, pour E 1 = E 2 , sont différentes lorsque les deux particules sont discernables. Ce n’est
pas le cas si les deux particules sont indiscernables et on ne doit compter alors qu’une seule
configuration. Par conséquent, si E 1 = E 2 , le nombre de configurations qui sont accessibles aux
particules indiscernables doit être divisé par 2 ! =2. Pour N particules placées sur N niveaux différents, le facteur de réduction serait égal à N!. Le raisonnement précédent présente néanmoins
une faille. En effet, il peut exister des configurations où plusieurs particules sont sur le même
niveau d’énergie. Dans ce cas, le facteur de réduction N! est incorrect. Pour illustrer ce point,
reprenons l’exemple des deux particules exposé ci-dessus. Si E 1 = E 2 on a une seule configuration (figure 1b), que les particules soient discernables ou non. Il n’y a donc pas 2 ! micro-états en
moins pour cette configuration particulière. Pour un gaz classique, il se trouve que la probabilité
pour qu’un niveau d’énergie donné soit occupé par une particule est petite comparée à l’unité
car le nombre de micro-états disponibles est généralement bien supérieur au nombre de particules (rappelons que pour un gaz parfait le nombre de micro-états dont l’énergie est inférieure à
E croît comme E
3N/2 ). Comme la probabilité pour qu’il y ait plusieurs particules sur un niveau
d’énergie dégénéré peut être négligée, le nombre de micro-états d’un système de N particules
indiscernables est N! fois plus petit que celui d’un système de particules discernables. L’erreur
commise provenant d’une occupation multiple d’un ou plusieurs niveaux est tout à fait négligeable. Pour illustrer ce dernier point, considérons le problème suivant où l’on met, au hasard,
deux boules différentes dans N boîtes différentes (on est autorisé à mettre deux boules dans la
même boîte). Il y a N choix différents pour chaque boule, soit au total N
2 configurations. Parmi
celles-ci, N(N − 1) correspondent à la situation où les deux boules sont dans des boîtes différentes. Il y a donc N
2
− N(N − 1) = N configurations où les deux boules sont dans la même boîte.