6 • L’ensemble canonique
113
Explicitement, Z s’écrit :
Z = e −bE 1 + e −bE 1 + e −bE 2 + e −bE 2 + e −bE 2 = 2e −bE 1 + 3e −bE 2
(41)
La probabilité de trouver le système dans un des micro-états d’énergie E 1 est égale à :
P 1,j =
e −bE 1
Z
(42)
La probabilité de le trouver dans l’état d’énergie E 1 est :
P 1 =
g 1
j=1
P 1,j =
2e −bE 1
Z
(43)
de même on a :
P 2 =
3e −bE 2
Z
(44)
À partir des P i,j on peut donc calculer d’autres quantités comme , C V , etc.. Nous
laissons au lecteur le soin de le faire à titre d’exercice.
6.3.3 La distribution de Maxwell
Nous allons nous familiariser au cas où les niveaux d’énergie ont un spectre continu. Les
sommes sur les micro-états se transforment alors en intégrales et il est utile de voir, sur
un exemple simple, comment on procède dans une telle situation. Soit un gaz parfait,
monoatomique, enfermé dans une enceinte de volume V. Si la température n’est pas trop
proche du zéro absolu, on peut utiliser la mécanique classique pour décrire ses propriétés. Comme chaque atome est discernable, on peut considérer un atome particulier. Les
autres jouent alors le rôle de thermostat. Soit un élément de volume dr dp dont le rayon
vecteur r est compris entre r et r+dr et dont l’impulsion p est comprise entre p et p+dp.
Si l’atome de masse m est situé dans ce volume élémentaire, son énergie cinétique est
égale à :
E =
p 2
2m
(45)
La probabilité pour que l’atome ait l’énergie cinétique E est proportionnelle à :
g(E)e −bE
(46)
où g(E) est la dégénérescence du niveau d’énergie E, i.e. le nombre de micro-états
dN(r, p) contenus dans le volume dr dp situé au voisinage de (r, p). Ce nombre est obtenu (section 2.6.1) en divisant le volume élémentaire dr dp par h 3 :
g(E) = dN(r, p) =
dr dp
h 3 =
dx dy dz dp x dp y dp z
h 3
(47)
(Nous avons introduit, dans le membre de droite, les composantes de r et p selon un
système d’axes cartésiens x, y et z). La probabilité P(r, p) dr dp d’observer un atome
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.