5 • L’ensemble microcanonique
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EXERCICES
1. Montrer que si l’on néglige l’indiscernabilité des particules, l’entropie n’est pas une grandeur
extensive.
2. Théorème de l’équipartition de l’énergie
I. Une particule libre de masse m et de spin nul est enfermée dans une boîte cubique de volume
V. Le système est isolé et l’énergie de la particule est comprise entre E et E + dE. On suppose
que l’énergie de la particule, donnée par l’expression E =
p
2
1
2m
+
p
2
2
2m
+
p
2
3
2m
(où 1, 2 et 3 sont
les indices associés aux coordonnées x, y et z, respectivement), est suffisamment élevée pour que
l’on puisse dénombrer de façon classique les micro-états accessibles.
1- Définir l’espace de phase associé à la particule. Soit un point : {x}, {p} de cet espace. Pour
un point quelconque de coordonnées {x} et {p}, on définit la fonction :
H(x, p) =
p
2
1
2m
+
p
2
2
2m
+
p
2
3
2m
Donner l’expression permettant de calculer le nombre V(E) de micro-états accessibles à la particule. Calculer p i
∂H
∂p i
. Montrer que dans le cas particulier que nous étudions, on peut exprimer ce
terme en fonction de H.
2- On se propose de calculer la valeur moyenne de
3
i=1
p 1
∂H
∂p i
sur l’ensemble microcanonique
associé au système.
a) Démontrer que l’on peut écrire :
p 1
∂H
∂p i
=
dE
∂
∂E
. . .
0HE
p i
∂H
∂pi
d
3 x d
3 p
dE
∂
∂E
. . .
0HE
d 3 x d 3 p
b) Montrer que :
. . .
0HE
p i
∂(H − E)
∂p j
d
3 x d
3 p = −V
. . .
0HE
(H − E)
∂p i
∂p j
d
3 p
= Vd ij
. . .
0HE
(E − H)d
3 p
c) Vérifier la relation suivante :
d
da
x=g(a)
x=f (a)
F(a, x) dx =
x=g(a)
x=f (a)
∂F(a, x)
∂a
dx
+
∂g(a)
∂a
F(a, g(a)) −
∂f (a)
∂a
F(a, f (a))
d) Calculer, en utilisant la relation ci-dessus,
p i
∂H
∂p i
en fonction du nombre de microétats F(E) dont l’énergie est inférieure à E. En déduire l’expression de
p i
∂H
∂p i
en fonction de
l’entropie S du système.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.