5 • L’ensemble microcanonique
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l’énergie. C’est le cas, par exemple, du gaz parfait classique. De tels systèmes sont appelés normaux et la température, définie par :
T =
∂E
∂S
V,N
=
1
k
∂E
∂ Log V
V,N
(71)
est une quantité toujours positive. Il existe néanmoins, dans la nature, des systèmes dont
l’énergie est bornée supérieurement et pour lesquels la quantité
∂E
∂ Log V
V,N
peut
être négative. Dans ce cas, la température absolue devient négative. Nous allons étudier
un tel exemple maintenant.
Considérons un système constitué de N atomes de spin 1/2, disposés sur un réseau
linéaire perpendiculaire à l’axe z, et n’interagissant pas entre eux. Si chaque atome a un
seul électron non apparié dans une sous-couche s, il a un moment dipolaire magnétique
égal à :
M = g
e
2m
s
(72)
où e et m sont respectivement la charge et la masse de l’électron. Le spin est représenté
par le vecteur s et g est une constante, appelée facteur de Landé, qui vaut 2 pour l’électron. Comme s = 1/2, la projection du moment magnétique selon l’axe z ne peut prendre
que deux valeurs : ±M. Si nous appliquons un champ magnétique B dirigé selon le sens
positif de l’axe z, l’énergie potentielle de chaque atome ne peut prendre que deux valeurs : −MB si M est parallèle à B et +MB si M est antiparallèle à B. Pour une valeur
de B fixée, chaque atome a une probabilité p pour que son moment magnétique soit parallèle à B et une probabilité q pour qu’il soit antiparallèle (p + q = 1). La valeur de
ces probabilités dépend du champ magnétique appliqué. Soit n (n ) le nombre d’atomes
ayant leur moment magnétique parallèle (antiparallèle) à B. On a n + n = N et l’énergie
correspondant à cette configuration vaut :
E(n) = −(n − n
)MB = −(2n − N)MB
(73)
La probabilité d’avoir n atomes dont le moment magnétique M est parallèle à B est
donnée par la distribution binomiale :
P(n) = C
n
N p
n q
N−n
(74)
Le nombre de micro-états correspondant au macroétat caractérisé par la valeur n est égal
à :
V(n) = C
n
N =
N!
n!(N − n)!
(75)
L’entropie S = k Log V(n), associée au macroétat d’énergie E(n), est une grandeur toujours positive ou nulle. Elle est nulle pour n = 0 et n = N ; elle devient maximum pour
n =
N
2
(S = kN Log 2). Par conséquent, S est une fonction de l’énergie qui est croissante
pour −NMB E 0, et décroissante pour 0 E +NMB. Elle est maximum lorsque
la moitié des moments magnétiques est parallèle à B. Dans ce cas, l’énergie est nulle.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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l’énergie. C’est le cas, par exemple, du gaz parfait classique. De tels systèmes sont appelés normaux et la température, définie par :
T =
∂E
∂S
V,N
=
1
k
∂E
∂ Log V
V,N
(71)
est une quantité toujours positive. Il existe néanmoins, dans la nature, des systèmes dont
l’énergie est bornée supérieurement et pour lesquels la quantité
∂E
∂ Log V
V,N
peut
être négative. Dans ce cas, la température absolue devient négative. Nous allons étudier
un tel exemple maintenant.
Considérons un système constitué de N atomes de spin 1/2, disposés sur un réseau
linéaire perpendiculaire à l’axe z, et n’interagissant pas entre eux. Si chaque atome a un
seul électron non apparié dans une sous-couche s, il a un moment dipolaire magnétique
égal à :
M = g
e
2m
s
(72)
où e et m sont respectivement la charge et la masse de l’électron. Le spin est représenté
par le vecteur s et g est une constante, appelée facteur de Landé, qui vaut 2 pour l’électron. Comme s = 1/2, la projection du moment magnétique selon l’axe z ne peut prendre
que deux valeurs : ±M. Si nous appliquons un champ magnétique B dirigé selon le sens
positif de l’axe z, l’énergie potentielle de chaque atome ne peut prendre que deux valeurs : −MB si M est parallèle à B et +MB si M est antiparallèle à B. Pour une valeur
de B fixée, chaque atome a une probabilité p pour que son moment magnétique soit parallèle à B et une probabilité q pour qu’il soit antiparallèle (p + q = 1). La valeur de
ces probabilités dépend du champ magnétique appliqué. Soit n (n ) le nombre d’atomes
ayant leur moment magnétique parallèle (antiparallèle) à B. On a n + n = N et l’énergie
correspondant à cette configuration vaut :
E(n) = −(n − n
)MB = −(2n − N)MB
(73)
La probabilité d’avoir n atomes dont le moment magnétique M est parallèle à B est
donnée par la distribution binomiale :
P(n) = C
n
N p
n q
N−n
(74)
Le nombre de micro-états correspondant au macroétat caractérisé par la valeur n est égal
à :
V(n) = C
n
N =
N!
n!(N − n)!
(75)
L’entropie S = k Log V(n), associée au macroétat d’énergie E(n), est une grandeur toujours positive ou nulle. Elle est nulle pour n = 0 et n = N ; elle devient maximum pour
n =
N
2
(S = kN Log 2). Par conséquent, S est une fonction de l’énergie qui est croissante
pour −NMB E 0, et décroissante pour 0 E +NMB. Elle est maximum lorsque
la moitié des moments magnétiques est parallèle à B. Dans ce cas, l’énergie est nulle.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.