3.2F onction d’onde monochromatique 57
Dans ce cas, on écrit la décompositionensérie de Fourierdelafonctionsous
la forme :
f ( t ) =
1
T
n = + ∞
n = −∞
c n exp(i 2 p nt/ t ) =
n = + ∞
n = −∞
c n exp(i 2 p nt/ t ) D n
avec D n → 0. La somme discrètep eut alorss ’écrire sous la formed ’une
intégrale(somme continue) :
f ( t ) =
n = + ∞
n = −∞
ˆ
f ( n )e
i 2 pnt
d n
=
1
2 p
n = + ∞
n = −∞
ˆ
f ( v )e
i v t
d v
avec la transformée de Fourier
ˆ
f ( n ) =
n = + ∞
n = −∞
f ( t )e
− i 2 pnt
dt.
Dans le domaine spatial, une fonction F ( X )est transforméepar :
F ( X ) =
n = + ∞
n = −∞
ˆ
F ( l
− 1
)e
i
2 p
l X
d l
− 1
=
1
2 p
n = + ∞
n = −∞
ˆ
F ( k )e
ikX
dk
avec la transformée de Fourier
ˆ
F ( l
− 1
) =
n = + ∞
n = −∞
f ( X )e
− i
2 p
l X
dX.
Grâce àcette transformation, la fonction F ( X )peut être écrite
F ( X ) =
1
2 p
n = + ∞
n = −∞
ˆ
F ( k )e
ikX
dk.
Comme l’équation d’onde est linéaire,l es termesi ssusd el ad écomposition de la
solutiongénérale(3.9) sont aussi des solutions de l’équationd’onde. Lesfonctions
F et G sont donc décomposées sur une base de fonctions de la forme
exp(ikX ) = exp(ik( x − ct)) = exp(i ( kx − v t )),
exp(ikY ) = exp(ik( x + ct)) = exp(i ( kx + v t )),
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