11 Le bélier médiéval
D’aprèslafi gure, la puslationest v 0 =
g / L =
9 , 81/ 3 , 5 = 1 , 67 s
− 1
,s oitu ne
fréquence de 0,26 Hz et une période de 3,75 s. Masse du bélier:1374 kg. Énergie:
E = mgD h = 10 112 J. La vitesse maximum s’obtient par la conversion complètede
l’énergieenénergiecinétique, on trouveune vitesse maximum de 3,8m· s
− 1
.
12 Régime critique de l’oscillateur amorti
Avec g = 2 v , a = 0, on ne peut donc utiliser directement l’expression (2.22) car on
trouve a au dénominateur.Enutilisant le développement e
a t
≈ 1+a t et e
− a t
≈ 1 − a t ,
on peut écrire :
A ( t ) =
1
2
e
− g t / 2
A 0 + t
g
2
A 0 + ˙
A 0
.
13 Régime apériodique de l’oscillateur amorti
Si g
2
− 4 v
2
0 > 0, alors a estunréel,etlasolution(2.22) se met sous la forme
A ( t ) = e
− g t / 2
A 0 cosh(a t )+
1
a
g
2
A 0 + ˙
A 0
sinh(a t )
et le mouvement estapériodique, c’est-à-dire sans périodicité.
14 Modes de vibration d’une molécule triatomique linéaire
a. Avec lesn otations de l’énoncé, lest roisé quations du mouvement pour lest rois
atomes sont
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
m H ¨
x H = k HC ( x C − x H ) ,
m C ¨
x C = − k HC ( x C − x H )+k CN ( x N − x C ) ,
m N ¨
x N = − k CN ( x N − x C ) .
On peut vérifierq ue less ignes desd ifférentes forces de rappel sont correctse n
faisant la somme de ces troiséquations.Lamoléculeétant un systèmeisolé,ondoit
vérifierque
i
m i ¨
x i = 0 , avec i = H , C , N .
b. En divisant leséquations du mouvement parles massesrespectives puisenf aisant
la différence entre lesé quations pour Ce tHd’une part,e tNet Cd ’autre part,l e
système précédent peut s’écrire sous la forme de deux équations :
¨
x HC = − v
2
HC x HC + v
2
C x CN ,
¨
x CN = v
2
C x HC + v
2
CN x CN ,
avec
v
2
HC = k HC
1
m H
+
1
m C
, v
2
CN = k CN
1
m C
+
1
m N
,
v
2
C =
k CN
m C
, v
2
C =
k HC
m C
.
©Dunod –Laphotocopienon autorisée est un délit
Corrigés 47
D’aprèslafi gure, la puslationest v 0 =
g / L =
9 , 81/ 3 , 5 = 1 , 67 s
− 1
,s oitu ne
fréquence de 0,26 Hz et une période de 3,75 s. Masse du bélier:1374 kg. Énergie:
E = mgD h = 10 112 J. La vitesse maximum s’obtient par la conversion complètede
l’énergieenénergiecinétique, on trouveune vitesse maximum de 3,8m· s
− 1
.
12 Régime critique de l’oscillateur amorti
Avec g = 2 v , a = 0, on ne peut donc utiliser directement l’expression (2.22) car on
trouve a au dénominateur.Enutilisant le développement e
a t
≈ 1+a t et e
− a t
≈ 1 − a t ,
on peut écrire :
A ( t ) =
1
2
e
− g t / 2
A 0 + t
g
2
A 0 + ˙
A 0
.
13 Régime apériodique de l’oscillateur amorti
Si g
2
− 4 v
2
0 > 0, alors a estunréel,etlasolution(2.22) se met sous la forme
A ( t ) = e
− g t / 2
A 0 cosh(a t )+
1
a
g
2
A 0 + ˙
A 0
sinh(a t )
et le mouvement estapériodique, c’est-à-dire sans périodicité.
14 Modes de vibration d’une molécule triatomique linéaire
a. Avec lesn otations de l’énoncé, lest roisé quations du mouvement pour lest rois
atomes sont
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
m H ¨
x H = k HC ( x C − x H ) ,
m C ¨
x C = − k HC ( x C − x H )+k CN ( x N − x C ) ,
m N ¨
x N = − k CN ( x N − x C ) .
On peut vérifierq ue less ignes desd ifférentes forces de rappel sont correctse n
faisant la somme de ces troiséquations.Lamoléculeétant un systèmeisolé,ondoit
vérifierque
i
m i ¨
x i = 0 , avec i = H , C , N .
b. En divisant leséquations du mouvement parles massesrespectives puisenf aisant
la différence entre lesé quations pour Ce tHd’une part,e tNet Cd ’autre part,l e
système précédent peut s’écrire sous la forme de deux équations :
¨
x HC = − v
2
HC x HC + v
2
C x CN ,
¨
x CN = v
2
C x HC + v
2
CN x CN ,
avec
v
2
HC = k HC
1
m H
+
1
m C
, v
2
CN = k CN
1
m C
+
1
m N
,
v
2
C =
k CN
m C
, v
2
C =
k HC
m C
.
©Dunod –Laphotocopienon autorisée est un délit
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