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Chap. 2. Les oscillateurs
peut toujoursd écomposer la fonction F ( t )e nu ne série de Fouriere tn et ravailler
qu’avec un seul mode de pulsation v (cet aspect est développé dans le chapitre suivant). L’équationàrésoudredevient donc
d
2
A
dt 2 + g
dA
dt
+ v
2
0 A = A F cos( v t ) .
(2.26)
avec une constante d’amplitude de forçage A F .Lasolutioncomplètedecette équationcomprend deux termes :
• la solutiongénéraledel ’équationsans second membre, solutionobtenue dans la
section précédente.Cette solution estu nm ouvement amorti avec une amplitude
qui tend vers 0pour t →∞.C’est un transitoire ;
• une solutionparticulière reliéea ur égime permanent,une fois le transitoire complétement amorti.
La solutionp articulière devrar efléter plus ou moinsfi dèlement le forçageq ui lui
fournitl’énergie. On choisitdonc comme solutiongénéraleune fonction
A ( t ) = A 1 cos( v t + f ) ,
où A 1 est une constanteinconnue et f un déphasage àdéterminer.Eninjectant cette
solutiondans(2.26),onobtient la relation
( v
2
0 − v
2
)cos( v t + f ) − vg sin(v t + f ) =
A F
A 1
cos( v t ) .
Pour déterminer A 1 et f àpartir d’une seuleéquation, on choisitd’aborduninstant
t
telque v t
+ f = 0, ce qui donne
( v
2
0 − v
2
) =
A F
A 1
cos f ,
puisuninstant t
telque v t
+ f = p / 2, ce qui donne
− vg =
A F
A 1
sin f .
Avec ces deux dernièresé galités, on peut déterminer l’amplitude A 1 et le déphasage f :
A 1
A F
=
1
( v 2
0 − v 2 ) 2 + v 2 g 2
tan f =
− vg
v 2
0 − v 2 .
(2.27)
(2.28)