2.4O scillateur amorti 27
Pour rendrecomptedecefrottement,onajouteunterme proportionnel àlavitesse ˙
A
dans l’équationd’amplitude (2.16) :
d
2
A
dt 2 + g
dA
dt
+ v
2
0 A = 0( 2.21)
où g est une constanted’amortissement qui aladimension de l’inversed’untemps
([g ] = T
− 1
).
La solutiong énéraled’une telle équationdifférentielle est du type A = e
ut
,c eq ui
donneune équationcaractéristique du second degré u
2
+ g u + v
2
0 = 0dont lesracines
sont
u 1 , 2 =
1
2
− g ±
g 2 − 4 v 2
0
= −
g
2
± a avec a =
1
2
g 2 − 4 v 2
0 .
La solutionde(2.21) est donc de la forme
A ( t ) = e
− g t / 2
A 1 e
a t
+ A 2 e
− a t
et lesconditions initiales(A 0 , ˙
A 0 )permettent de déterminer lesconstantes A 1 et A 2 ,
pour obtenirfinalement la solutiongénéralede(2.21) :
A ( t ) =
e
− g t / 2
2 a
a A 0
e
a t
+e
− a t
+
g
2
A 0 + ˙
A 0
e
a t
− e
− a t
.
(2.22)
Selon la nature de a (imaginaire,nul ou réel), on peut distinguer trois régimes décrits
ci-dessous.
2.4.1 Régime oscillant
Si ( g
2
− 4 v
2
0 ) < 0, alors a est un imaginaire pur,que l’onécrit sous la forme a = i v 1
avec
v 1 = v 0
1 −
g 2
4 v
2
0
.
(2.23)
Dans ce cas, la solution(2.22) devient
A ( t ) = e
− g t / 2
A 0 cos v 1 t +
1
v 1
g
2
A 0 + ˙
A 0
sin v 1 t
(2.24)
et l’amplitude décrit une oscillationdepulsation v 1 avec une enveloppe exponentiellement décroissante. Ce régime est appelé pseudo-périodique car il ne satisfait pas
àl adéfinitiondel ap ériodicité vue au chapitre 1. La figure2.7 montre l’amplitude
(a), la vitesse (b)etleportrait de phase (c)pour un exempled’amortissement faible.
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