2.3O scillateur harmonique non amorti 23
Encart 2.4 Spectroscopieinfrarouge
Ce modèle simple est largementutiliséens pectroscopieinfrarouge (IR). Un
spectromètreest un appareilqui compareles spectresélectromagnétiquesavant
et après la traversée d’un échantillon. La différence des spectresm ontre les
bandes des fréquences absorbées par l’échantillondematière àanalyser.Ces fréquences sont reliées auxdifférentesliaisonsatomiquesprésentes. Chaque liaison est répertoriée par unefréquencepropreetonpeut luiassocierune constante
de raideur k selon le modèlemécanique.Quelques exemples de constantesde
raideur et de fréquences propres n 0 = v 0 / 2 p sont donnésci-dessous :
Liaison k (N· m
− 1
) n 0 ( 10
13
Hz)
H-Cl
480
8,66
H-F
970
8,72
H-Br
410
7,68
H-I
320
6,69
C-O
1860
6,42
N-O
1530
6,63
2.3O SCILLATEUR HARMONIQUE NON AMORTI
Les quatre exemples précédentsaboutissent tous àune équationdel am ême forme.
On peut donc écrire une équation générale pour l’amplitude de l’oscillateur A ( t ).
Cette amplitude peut être la position de la masse, l’écart du penduleaveclaverticale,
etc. Cette équationest :
d
2
A
dt 2 + v
2
0 A = 0 .
(2.16)
L’équation( 2.16) est une équationd ifférentielle ordinaire du deuxième ordre. La
déterminationcomplètedelasolutionnécessite donc la connaissance de deux conditions initialessur l’amplitude et la vitesse de l’oscillateur à t = 0. Posons :
• l’amplitude initiale A 0 = A ( t = 0) ;
• la vitesse initiale ˙
A 0 = dA/ dt( t = 0).
2.3.1 Solution générale
Pour résoudrel’équation(2.16),ondoitchercher une fonction A ( t )telle que sa dérivée seconde soitégaleà− v
2
0 A .Sans hypothèse particulière,lasolutiongénéralede
(2.16) s’écrit sous la formed’exponentiellescomplexes :
A ( t ) = A 1 e
i v 0 t
+ A 2 e
− i v 0 t
,
©Dunod –Laphotocopienon autorisée est un délit
Encart 2.4 Spectroscopieinfrarouge
Ce modèle simple est largementutiliséens pectroscopieinfrarouge (IR). Un
spectromètreest un appareilqui compareles spectresélectromagnétiquesavant
et après la traversée d’un échantillon. La différence des spectresm ontre les
bandes des fréquences absorbées par l’échantillondematière àanalyser.Ces fréquences sont reliées auxdifférentesliaisonsatomiquesprésentes. Chaque liaison est répertoriée par unefréquencepropreetonpeut luiassocierune constante
de raideur k selon le modèlemécanique.Quelques exemples de constantesde
raideur et de fréquences propres n 0 = v 0 / 2 p sont donnésci-dessous :
Liaison k (N· m
− 1
) n 0 ( 10
13
Hz)
H-Cl
480
8,66
H-F
970
8,72
H-Br
410
7,68
H-I
320
6,69
C-O
1860
6,42
N-O
1530
6,63
2.3O SCILLATEUR HARMONIQUE NON AMORTI
Les quatre exemples précédentsaboutissent tous àune équationdel am ême forme.
On peut donc écrire une équation générale pour l’amplitude de l’oscillateur A ( t ).
Cette amplitude peut être la position de la masse, l’écart du penduleaveclaverticale,
etc. Cette équationest :
d
2
A
dt 2 + v
2
0 A = 0 .
(2.16)
L’équation( 2.16) est une équationd ifférentielle ordinaire du deuxième ordre. La
déterminationcomplètedelasolutionnécessite donc la connaissance de deux conditions initialessur l’amplitude et la vitesse de l’oscillateur à t = 0. Posons :
• l’amplitude initiale A 0 = A ( t = 0) ;
• la vitesse initiale ˙
A 0 = dA/ dt( t = 0).
2.3.1 Solution générale
Pour résoudrel’équation(2.16),ondoitchercher une fonction A ( t )telle que sa dérivée seconde soitégaleà− v
2
0 A .Sans hypothèse particulière,lasolutiongénéralede
(2.16) s’écrit sous la formed’exponentiellescomplexes :
A ( t ) = A 1 e
i v 0 t
+ A 2 e
− i v 0 t
,
©Dunod –Laphotocopienon autorisée est un délit