6.11 Énergieé lectromagnétique 151
Pour construire cette quantité E ,o nv autiliser lesq uantitésp hysiquesdéfiniesprécédemment :l echampélectrique
E ,l echamp magnétique
B ,l adensité de courant
j .Concernant lesconstantes, on choisitd’utiliser ´ 0 et la vitesse c (l’autre constante
m 0 est reliéeaux deux autres).Laquantité E n’inclut pas de dimension de courant ou
de charge,c’est une quantité construiteàpartir d’une masse, d’une longueur et d’un
temps:
[ E ] = ML
− 1
T
− 3
.
Exemple 1:densité de courant et champ électrique
On peut retrouver cette dimension en faisant le produitdeladensité de courant et
du champ électrique. La densité de courant est naturellement proportionnelle àun
courant alorsque le champ électrique est inversement proportionnel àuncourant :
[ j ·
E ] = [ j ] × [
E ] = IL
− 2
×LMI
− 1
T
− 3
= ML
− 1
T
− 3
.
Le produit j ·
E est donc bien équivalent àune densité d’énergiepar unité de temps.
Exemple 2:champ électrique et permittivité
La permittivité ´ 0 acomme dimension I
2
L
− 3
M
− 1
T
4
.Enmultipliant cette quantité parl ec arré du champé lectrique,o np euté liminer la dimensiond ec ourant.
Le produit ´ 0 E
2
al am ême dimension qu’une énergiepar unité de volume. Pour
obtenirune densité d’énergiepar unité de temps, il faut encorediviser ´ 0 E
2
par un
tempscaractéristique.
Il existe d’autresc ombinaisons desq uantitésp hysiquesd eb ase qui permettent de
trouver cette densité E .M aisi lf aut parfois introduire des temps caractéristiques
ou des longueursc aractéristiques inconnus. Pour contourner cette difficulté,i lf aut
reveniraux équations de descriptiondes champs électromagnétiques, lesé quations
de Maxwell.
6.11.2 Conservation de l’énergie électromagnétique
Outre la conservationd el ac harge déjàd écrite par la relation( 6.8),l es équations
de Maxwelldoivent vérifier le principe de conservationdel’énergie. La relationde
Maxwell-Ampère(6.18) donne la densité de courant sous la forme
j = ´ 0 c
2
rot
B −
1
c 2
∂
E
∂ t
.
Le produitscalaire avec le champ électrique est
j ·
E = ´ 0 c
2
rot
B
·
E −
1
2 c 2
∂ E
2
∂ t
©Dunod –Laphotocopienon autorisée est un délit
Pour construire cette quantité E ,o nv autiliser lesq uantitésp hysiquesdéfiniesprécédemment :l echampélectrique
E ,l echamp magnétique
B ,l adensité de courant
j .Concernant lesconstantes, on choisitd’utiliser ´ 0 et la vitesse c (l’autre constante
m 0 est reliéeaux deux autres).Laquantité E n’inclut pas de dimension de courant ou
de charge,c’est une quantité construiteàpartir d’une masse, d’une longueur et d’un
temps:
[ E ] = ML
− 1
T
− 3
.
Exemple 1:densité de courant et champ électrique
On peut retrouver cette dimension en faisant le produitdeladensité de courant et
du champ électrique. La densité de courant est naturellement proportionnelle àun
courant alorsque le champ électrique est inversement proportionnel àuncourant :
[ j ·
E ] = [ j ] × [
E ] = IL
− 2
×LMI
− 1
T
− 3
= ML
− 1
T
− 3
.
Le produit j ·
E est donc bien équivalent àune densité d’énergiepar unité de temps.
Exemple 2:champ électrique et permittivité
La permittivité ´ 0 acomme dimension I
2
L
− 3
M
− 1
T
4
.Enmultipliant cette quantité parl ec arré du champé lectrique,o np euté liminer la dimensiond ec ourant.
Le produit ´ 0 E
2
al am ême dimension qu’une énergiepar unité de volume. Pour
obtenirune densité d’énergiepar unité de temps, il faut encorediviser ´ 0 E
2
par un
tempscaractéristique.
Il existe d’autresc ombinaisons desq uantitésp hysiquesd eb ase qui permettent de
trouver cette densité E .M aisi lf aut parfois introduire des temps caractéristiques
ou des longueursc aractéristiques inconnus. Pour contourner cette difficulté,i lf aut
reveniraux équations de descriptiondes champs électromagnétiques, lesé quations
de Maxwell.
6.11.2 Conservation de l’énergie électromagnétique
Outre la conservationd el ac harge déjàd écrite par la relation( 6.8),l es équations
de Maxwelldoivent vérifier le principe de conservationdel’énergie. La relationde
Maxwell-Ampère(6.18) donne la densité de courant sous la forme
j = ´ 0 c
2
rot
B −
1
c 2
∂
E
∂ t
.
Le produitscalaire avec le champ électrique est
j ·
E = ´ 0 c
2
rot
B
·
E −
1
2 c 2
∂ E
2
∂ t
©Dunod –Laphotocopienon autorisée est un délit