La deuxième équationdonne la partie imaginairedelapulsation:v i = a c
2
/ 2. En
combinant ce résultataveclapremière équation, on trouve:
v r = kc
1 −
a 2 c 2
4 k 2 + b k 2 .
c. On peut remarquer que l’amortissement ( a
= 0) diminue la fréquence de vibration
de la corde. C’estl em ême résultat que celui obtenu pour l’oscillateur amorti. De
plus on voit que la rigidité ( b
= 0) augmentelafréquence de vibrationdelacorde.
7 Mode fondamental de vibration d’unemembrane triangulaire
Les modes (12) et (21) d’une membrane carrée de côté a sont dégénérés car ils sont
associés àlamême pulsation :
v 12 = v 21 =
c p
a
√ 5 .
La superposition de ces deux modes montre une lignen odale qui estl ad iagonale du
carré. Comme la ligne nodaleest une ligne d’élévationnulle,cette ligne peut être assimiléeàune frontière rigide d’un domaine triangulaire isocèlerectangle. Ce domaine ne
comporte pas de ligne nodale, ce qui correspondàsonmode fondamental de vibration.
La fréquencefondamentaledutriangleest donc égaleàla fréquence du mode (21) du
carré :
min { v triangle } = v 12(carr´ e ) =
c p
a
√
5 .
8 Vibration d’une poutre doublement encastrée
L’amplitude de vibrationd’une poutre estdonnée parlaforme générale
A ( x ) = B 1 cosh a x + B 2 sinh a x + B 3 cos a x + B 4 sin a x ,
avec cette fois les conditions auxlimites suivantes:
A = 0e n x = 0e t x = L ,
dA/ dx = 0e n x = 0e t x = L .
ce qui donne B 1 = − B 3 et B 2 = − B 4 et
cosh a L − cos a L sinh a L − sin a L
sinh a L +sin a L
cosh a L − cos a L
B 1
B 2
= 0 .
Le système admet des solutions si le déterminant de la matrice estn ul,c ’est-à-dire si
cosh a L . cos a L = 1. En utilisantla figure 4.13 et en traçant la courbe 1 / cosh(a L )au
lieu de − 1 / cosh(a L ), on voit que la premièreintersectionalieupour a L ≈ 3 p / 2, puis
la deuxième à5 p / 2, etc. Les pulsations de vibrationdel ap outre encastrée aux deux
extrémitéssont donc
v n 0 =
(2n +3)
2
p
2
4 L 2
EI
r S
.
©Dunod –Laphotocopienon autorisée est un délit
Corrigés 111
2
/ 2. En
combinant ce résultataveclapremière équation, on trouve:
v r = kc
1 −
a 2 c 2
4 k 2 + b k 2 .
c. On peut remarquer que l’amortissement ( a
= 0) diminue la fréquence de vibration
de la corde. C’estl em ême résultat que celui obtenu pour l’oscillateur amorti. De
plus on voit que la rigidité ( b
= 0) augmentelafréquence de vibrationdelacorde.
7 Mode fondamental de vibration d’unemembrane triangulaire
Les modes (12) et (21) d’une membrane carrée de côté a sont dégénérés car ils sont
associés àlamême pulsation :
v 12 = v 21 =
c p
a
√ 5 .
La superposition de ces deux modes montre une lignen odale qui estl ad iagonale du
carré. Comme la ligne nodaleest une ligne d’élévationnulle,cette ligne peut être assimiléeàune frontière rigide d’un domaine triangulaire isocèlerectangle. Ce domaine ne
comporte pas de ligne nodale, ce qui correspondàsonmode fondamental de vibration.
La fréquencefondamentaledutriangleest donc égaleàla fréquence du mode (21) du
carré :
min { v triangle } = v 12(carr´ e ) =
c p
a
√
5 .
8 Vibration d’une poutre doublement encastrée
L’amplitude de vibrationd’une poutre estdonnée parlaforme générale
A ( x ) = B 1 cosh a x + B 2 sinh a x + B 3 cos a x + B 4 sin a x ,
avec cette fois les conditions auxlimites suivantes:
A = 0e n x = 0e t x = L ,
dA/ dx = 0e n x = 0e t x = L .
ce qui donne B 1 = − B 3 et B 2 = − B 4 et
cosh a L − cos a L sinh a L − sin a L
sinh a L +sin a L
cosh a L − cos a L
B 1
B 2
= 0 .
Le système admet des solutions si le déterminant de la matrice estn ul,c ’est-à-dire si
cosh a L . cos a L = 1. En utilisantla figure 4.13 et en traçant la courbe 1 / cosh(a L )au
lieu de − 1 / cosh(a L ), on voit que la premièreintersectionalieupour a L ≈ 3 p / 2, puis
la deuxième à5 p / 2, etc. Les pulsations de vibrationdel ap outre encastrée aux deux
extrémitéssont donc
v n 0 =
(2n +3)
2
p
2
4 L 2
EI
r S
.
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