4.4V ibration des poutres 105
en fonctiond es paramètresm écaniques et dimensionnelsd el ap outre.L es zéros
suivants sont,àune petite erreur près, a n 1 = (2n +1 ) p / 2 L ,c eq ui donne des
fréquences
v n 1 =
(2n +1)
2
p
2
4 L 2
EI
r S
.
La vibrationdelapoutre mono-encastréeest équivalenteàla vibrationd’unressort
lame. Paranalogie, on peut introduire une raideur de la poutre k poutre en écrivant
v n = b n
EI
r SL 4 = b n
k poutre
M
,
où M est la masse de la poutre et la raideur de la poutre est
k poutre =
EI
L 3 .
On voit iciq ue la raideur de la poutre dépend du moduled ’élasticité,d um oment
d’inertie et de la longueur.Les coefficients b n sont des nombres sans dimension qui
dépendent du mode de vibrationconsidéré.
Retour sur l’hypothèse de vibration inertielle
Ces solutions ont étéobtenues avec l’hypothèse (4.34).Leterme d’accélérationpeut
être approximé par une amplitude de vibrationp roche de la flèche f de la poutre
sous gravité :
∂
2
y
∂ t 2
= v
2
A ≈ f v
2
ce qui donne
g
∂ 2 y
∂ t 2
=
g
f v 2 =
128
(2n +1) 4 p 4 .
Le tableau 4.2 montre que l’hypothèse de vibrationinertielle n’est pas bien vérifiée
pour le mode fondamental.Enrevanche, cette hypothèse est validée pour lesmodes
n 1.
Tableau 4.2 Rapport gravité/inertiep our la poutre vibrante.
Mode n
0
1
2
3
Rapport g / ( f v
2
) 0,64 0,02 2 · 10
− 3
5 · 10
− 4
©Dunod –Laphotocopienon autorisée est un délit
en fonctiond es paramètresm écaniques et dimensionnelsd el ap outre.L es zéros
suivants sont,àune petite erreur près, a n 1 = (2n +1 ) p / 2 L ,c eq ui donne des
fréquences
v n 1 =
(2n +1)
2
p
2
4 L 2
EI
r S
.
La vibrationdelapoutre mono-encastréeest équivalenteàla vibrationd’unressort
lame. Paranalogie, on peut introduire une raideur de la poutre k poutre en écrivant
v n = b n
EI
r SL 4 = b n
k poutre
M
,
où M est la masse de la poutre et la raideur de la poutre est
k poutre =
EI
L 3 .
On voit iciq ue la raideur de la poutre dépend du moduled ’élasticité,d um oment
d’inertie et de la longueur.Les coefficients b n sont des nombres sans dimension qui
dépendent du mode de vibrationconsidéré.
Retour sur l’hypothèse de vibration inertielle
Ces solutions ont étéobtenues avec l’hypothèse (4.34).Leterme d’accélérationpeut
être approximé par une amplitude de vibrationp roche de la flèche f de la poutre
sous gravité :
∂
2
y
∂ t 2
= v
2
A ≈ f v
2
ce qui donne
g
∂ 2 y
∂ t 2
=
g
f v 2 =
128
(2n +1) 4 p 4 .
Le tableau 4.2 montre que l’hypothèse de vibrationinertielle n’est pas bien vérifiée
pour le mode fondamental.Enrevanche, cette hypothèse est validée pour lesmodes
n 1.
Tableau 4.2 Rapport gravité/inertiep our la poutre vibrante.
Mode n
0
1
2
3
Rapport g / ( f v
2
) 0,64 0,02 2 · 10
− 3
5 · 10
− 4
©Dunod –Laphotocopienon autorisée est un délit