4.3V ibrations transversales des membranes 97
Comme lesf onctions de Bessel Y n ( x )d ivergent pour x → 0, ellesn ep euvent être
des solutions physiques acceptables pour la membrane dont le centre aune élévation
finie. La vibrationd’une membranecirculaire est donc donnée par
z ( r , u , t ) = cos( v t )
n
a n J n ( kr)cos( n u + f n ) .
Le choixdelafréquence estimposé par le fait que le contour de la membrane r = R
correspond àunzérodelafonctiondeBessel d’ordre n .Ces valeursnepeuvent être
calculées facilement,maisles fonctions de Bessel sont assez bien approchées par des
fonctions du type
J n ( x ) ≈
2
p x
cos
x −
p
2
n +
1
2
,
et leszéros de ces fonctions sont approchés par :
B pn ≈ p
p +
n
2
−
1
4
.
La pulsationdumode ( pn)est déterminée parle p -ième zérodelafonction J n ,soit
J n ( k pn R ) = 0
ce qui donne, avec la relationdedispersion v pn = c m k pn :
v pn =
c
R
B pn .
Exemple 1:pulsation du mode (10)
Le mode (10) est caractérisépar le premierzéro(p = 1) de la fonctiondeBessel
J 0 .Ontrouve B 10 ≈ 3 p / 4. La pulsationest donc :
v 10 =
c
R
B 10 ≈
3 c p
4 R
.
C’est le mode fondamental, illustrésur la figure4.11a.
Exemple 2:pulsation du mode (31)
Le mode (31) est caractérisépar le troisième zéro(p = 3) de la fonctiondeBessel
J 1 .Ontrouve B 31 ≈ 13p / 4. La pulsationest donc :
v 31 =
c
R
B 31 ≈
13c p
4 R
.
C’est le mode illustré surla figure4.11b.
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