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final) que si l’on a retrouvé la pression P 0 dans le compartiment A. On a donc deux types
de solutions : si V B est « très grand », le déplacement du piston ne pourra pas compenser
la perte de pression très forte dans A, et le piston se déplacera jusqu’à être en butée sur la
paroi fixe F. Au contraire, pour V B « très petit » le piston s’arrêtera avant d’être en butée.
La situation limite, où le mouvement du piston s’arrête précisément sur F, correspond à
la valeur limite V B = V Bs .
b. • Le piston s’arrête avant F, son équilibre impose P 1 = P 0 .
• On applique le premier principe de la thermodynamique à l’ensemble des deux
compartiments DU = W 1 Q, où la chaleur échangée Q est nulle, car les parois
sont adiabatiques. Le travail échangé W doit être calculé à partir de sa formulation générale W =
−P ext dV , car il n’est pas précisé si la transformation est
quasi-statique ou non. Donc W = −P 0 DV = −P 0 (V 1 − V A − V B ). Par ailleurs,
DU = DU gaz =
1
g − 1
(P 1 V 1 − P 0 V 0 ) d’après la première partie. En égalant les deux
quantités il vient, V 1 = V A 1
g − 1
g
V B .
• La température est donnée par P 1 V 1 = nRT 1 ⇒ T 1 =
P 0
nR
V A 1
g − 1
g
V B
.
c. La situation limite du cas examiné précédemment (piston en butée) correspond à
V 1 = V Bs . Soit V A 1
g − 1
g
V Bs = V Bs , et en simplifiant : V Bs = gV A .
d. • Tout le gaz est contenu dans B, la pression vérifie P 2 < P 0 , et on a V 2 = V B .
• On écrit comme précédemment le premier principe de la thermodynamique,
DU = W 1 Q = −P 0 ( V B − V A − V B ) = P 0 V A =
1
g − 1
(P 2 V B − P 0 V A ), d’où
P 2 =
gP 0 V A
V B
.
• Enfin, T 2 =
gP 0 V A
nR
.
7.a. La différentielle de l’entropie est donnée par dS =
dQ rev
T
, et la chaleur échangée dans une transformation élémentaire réversible peur être calculée par le premier
principe dU = dW 1 dQ rev = −PdV 1 dQ rev ⇒ dQ rev = nc V dT 1 PdV . Donc
dS =
nR
g − 1
dT
T
1
P
T
dV
⇒ dS =
1
g − 1
PdV 1 V dP
T
1 nR
dV
V
=
1 1
1
g − 1
nR
dV
V
1 nR
1
g − 1
dP
P
= n
R
g − 1
g
dV
V
1
dP
P
.
En intégrant S =
nc P
g
n (PV
g ) 1 cste.
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final) que si l’on a retrouvé la pression P 0 dans le compartiment A. On a donc deux types
de solutions : si V B est « très grand », le déplacement du piston ne pourra pas compenser
la perte de pression très forte dans A, et le piston se déplacera jusqu’à être en butée sur la
paroi fixe F. Au contraire, pour V B « très petit » le piston s’arrêtera avant d’être en butée.
La situation limite, où le mouvement du piston s’arrête précisément sur F, correspond à
la valeur limite V B = V Bs .
b. • Le piston s’arrête avant F, son équilibre impose P 1 = P 0 .
• On applique le premier principe de la thermodynamique à l’ensemble des deux
compartiments DU = W 1 Q, où la chaleur échangée Q est nulle, car les parois
sont adiabatiques. Le travail échangé W doit être calculé à partir de sa formulation générale W =
−P ext dV , car il n’est pas précisé si la transformation est
quasi-statique ou non. Donc W = −P 0 DV = −P 0 (V 1 − V A − V B ). Par ailleurs,
DU = DU gaz =
1
g − 1
(P 1 V 1 − P 0 V 0 ) d’après la première partie. En égalant les deux
quantités il vient, V 1 = V A 1
g − 1
g
V B .
• La température est donnée par P 1 V 1 = nRT 1 ⇒ T 1 =
P 0
nR
V A 1
g − 1
g
V B
.
c. La situation limite du cas examiné précédemment (piston en butée) correspond à
V 1 = V Bs . Soit V A 1
g − 1
g
V Bs = V Bs , et en simplifiant : V Bs = gV A .
d. • Tout le gaz est contenu dans B, la pression vérifie P 2 < P 0 , et on a V 2 = V B .
• On écrit comme précédemment le premier principe de la thermodynamique,
DU = W 1 Q = −P 0 ( V B − V A − V B ) = P 0 V A =
1
g − 1
(P 2 V B − P 0 V A ), d’où
P 2 =
gP 0 V A
V B
.
• Enfin, T 2 =
gP 0 V A
nR
.
7.a. La différentielle de l’entropie est donnée par dS =
dQ rev
T
, et la chaleur échangée dans une transformation élémentaire réversible peur être calculée par le premier
principe dU = dW 1 dQ rev = −PdV 1 dQ rev ⇒ dQ rev = nc V dT 1 PdV . Donc
dS =
nR
g − 1
dT
T
1
P
T
dV
⇒ dS =
1
g − 1
PdV 1 V dP
T
1 nR
dV
V
=
1 1
1
g − 1
nR
dV
V
1 nR
1
g − 1
dP
P
= n
R
g − 1
g
dV
V
1
dP
P
.
En intégrant S =
nc P
g
n (PV
g ) 1 cste.
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