Now, following the above-mentioned procedure, let us draw normal to each
plane (line in 2D) mentioned above and mark a point on each normal at a distance
1/d hk0 , where d hk0 is the interplanar spacing for the planes {hk0}. Here, the normal
OA to the (100) plane defines a*-axis and the normal OB to the (010) plane defines
b*-axis, respectively. Further, in general, to reach any reciprocal lattice point hk0,
we have to travel h units along a*-axis and k-units along b*-axis. This way, we can
generate the reciprocal lattice net as shown in Fig. 2.13.
Example 2 The primitive translation vectors of a two-dimensional lattice are a = 2 ^ i
+ ^ j and b = 2 ^ j. Determine the primitive translation vectors of its reciprocal lattice.
Solution: Given: a = 2 ^ i + ^ j and b = 2 ^ j. Let us assume the third translation vector c of
the given lattice lies along the z-axis and it has a unit magnitude, that is, c = ^ k.
Therefore, the volume of the unit cell is
Table 2.2 Relationship between direct and reciprocal lattice parameters and interaxial angles
Triclinic
a
à ¼ Kbc sin a
V ; b
à ¼ Kca sin b
V ; c
à ¼ Kab sin c
V
V ¼ abc 1 À cos
2 a À cos
2 b À cos
2 c þ 2cosacosbcosc
À
Á 1=2
¼ 2abcfsins:sin s À a
ð
Þ:sin s À b
ð
Þ:sinðs À cÞg
1=2 ; V
à ¼
1
V
2s ¼ a þ b þ c; K ¼ 2p
cosa
à ¼
cosbcoscÀcosa
sinbsinc
; cosb
à ¼
cosccosaÀcosb
sincsina
; cos c
à ¼
cosacosbÀcosc
sinasinb
Monoclinic
1st setting a
à ¼ K
asinc ; b
à ¼ K
bsinc ; c
à ¼ K
c ; a
à ¼ b
à ¼ 90
; c
à ¼ 180
À c
2nd setting a
à ¼ K
asinb ; b
à ¼ K
b ; c
à ¼ K
csinb ; c
à ¼ c
à ¼ 90
; b
à ¼ 180
À b
Orthorhombic
a
à ¼ K
a ; b
à ¼ K
b ; c
à ¼ K
c ; a
à ¼ b
à ¼ c
à ¼ 90
Tetragonal
a
à ¼ b
à ¼ K
a ; c
à ¼ K
c ; a
à ¼ b
à ¼ c
à ¼ 90
Cubic
a
à ¼ b
à ¼ c
à ¼ K
a ; a
à ¼ b
à ¼ c
à ¼ 90
Hexagonal
a
à ¼ b
à ¼
2K
a
ffiffi
3
p ; c
à ¼ K
c ; a
à ¼ b
à ¼ 90
; c
à ¼ 60
Rhombohedral
a
à ¼ b
à ¼ c
à ¼ K:a
2 sina
V ; where V ¼ a
3 1 À 3 cos
2 a þ 2 cos
3 a
ð
Þ
1=2
cosa
à ¼ cosb
à ¼ cosc
à ¼
cos
2 aÀcosa
sin
2 a
¼ À
cosa
1 þ cosa
ð
Þ
2.2 Construction of Reciprocal Lattice
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