Lois de Newton et référentiels galiléens
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1) Question préliminaire : étude statique : faire un schéma représentant le ressort à vide
(ou au repos) dans la position verticale et à côté le même ressort mais étiré sous l’action
du poids de la masse M. À partir de la condition d’équilibre, exprimer puis calculer la
raideur k du ressort.
2) On se place dans le cas de la figure. Après avoir précisé exactement le mouvement
de la masse m, indiquer quels sont la direction et le sens du vecteur accélération − → a .
Donner l’expression de l’accélération a en fonction de la longueur L du ressort et de
la vitesse angulaire v.
3) Faire l’étude dynamique complète du système masse m et en déduire l’expression de
la longueur L et de l’allongement DL du ressort. Calculer cet allongement.
4) Calculer la tension T du ressort.
5) Commenter le résultat du 3) quand la vitesse angulaire v varie. Que se passerait-il
si l’ensemble tournait à la vitesse angulaire v = v o =
k
m
?
Solution
1) équilibre : Mg = kd ⇒ k =
Mg
d
=
0,2.9,8
0,01
= 196 N.m
−1
2) Mouvement circulaire uniforme. L’accélération est donc normale et centripète. Son
expression est : a = v
2 L
3) Système : m ;
Référentiel terrestre galiléen ;
Bilan des forces extérieures : le poids m − → g vertical vers le bas, la réaction de la tige
(perpendiculaire à la tige car pas de frottement) et la tension du ressort
− →
T .
Principe fondamental de la dynamique :
− →
P +
− →
R +
− →
T = m − → a . La projection sur la tige
mobile donne :
T = k(L − L o ) = mv
2 L ⇒ L =
kL o
k − mv 2 =
L o
1 −
v
2
v 2
o
et L − L o =
mv
2 L o
k − mv 2 =
L o
v
2
o
v 2 − 1
avec v o =
k
m
.
v
2
o
4p 2 =
1
4.9,8
196
0,05
= 100 et
v
2
4p 2 = 2
2 = 4 L − L o =
L o
v
2
o
v 2 − 1
=
48
24
= 2 cm
et L = 50 cm
4) T = k(L − L o ) = 196.0,02 = 3,92 N
5) v < v o ⇒ L−L o =
L o
v
2
o
v 2 − 1
et L =
kL o
k − mv 2 =
L o
1 −
v
2
v 2
o
. Alors v v o ⇒ impossible.
Le ressort casse avant puisque pour v = v o ⇒ l’allongement tend vers l’infini. Ensuite
il devient négatif : impossible. On sort du domaine d’élasticité du ressort.
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1) Question préliminaire : étude statique : faire un schéma représentant le ressort à vide
(ou au repos) dans la position verticale et à côté le même ressort mais étiré sous l’action
du poids de la masse M. À partir de la condition d’équilibre, exprimer puis calculer la
raideur k du ressort.
2) On se place dans le cas de la figure. Après avoir précisé exactement le mouvement
de la masse m, indiquer quels sont la direction et le sens du vecteur accélération − → a .
Donner l’expression de l’accélération a en fonction de la longueur L du ressort et de
la vitesse angulaire v.
3) Faire l’étude dynamique complète du système masse m et en déduire l’expression de
la longueur L et de l’allongement DL du ressort. Calculer cet allongement.
4) Calculer la tension T du ressort.
5) Commenter le résultat du 3) quand la vitesse angulaire v varie. Que se passerait-il
si l’ensemble tournait à la vitesse angulaire v = v o =
k
m
?
Solution
1) équilibre : Mg = kd ⇒ k =
Mg
d
=
0,2.9,8
0,01
= 196 N.m
−1
2) Mouvement circulaire uniforme. L’accélération est donc normale et centripète. Son
expression est : a = v
2 L
3) Système : m ;
Référentiel terrestre galiléen ;
Bilan des forces extérieures : le poids m − → g vertical vers le bas, la réaction de la tige
(perpendiculaire à la tige car pas de frottement) et la tension du ressort
− →
T .
Principe fondamental de la dynamique :
− →
P +
− →
R +
− →
T = m − → a . La projection sur la tige
mobile donne :
T = k(L − L o ) = mv
2 L ⇒ L =
kL o
k − mv 2 =
L o
1 −
v
2
v 2
o
et L − L o =
mv
2 L o
k − mv 2 =
L o
v
2
o
v 2 − 1
avec v o =
k
m
.
v
2
o
4p 2 =
1
4.9,8
196
0,05
= 100 et
v
2
4p 2 = 2
2 = 4 L − L o =
L o
v
2
o
v 2 − 1
=
48
24
= 2 cm
et L = 50 cm
4) T = k(L − L o ) = 196.0,02 = 3,92 N
5) v < v o ⇒ L−L o =
L o
v
2
o
v 2 − 1
et L =
kL o
k − mv 2 =
L o
1 −
v
2
v 2
o
. Alors v v o ⇒ impossible.
Le ressort casse avant puisque pour v = v o ⇒ l’allongement tend vers l’infini. Ensuite
il devient négatif : impossible. On sort du domaine d’élasticité du ressort.