64
Mécanique du point
θ
x
O
y
z
M
R
M
V
→
O
M
L
→
Δ
Figure 3.7 • Illustration du mouvement de rotation d’un point M dans un référentiel R.
Le moment cinétique est donc un vecteur perpendiculaire à
−→
OM et à la vitesse − → v M/R du
point (annexe 1, 4.). C’est donc un vecteur perpendiculaire à la trajectoire du point M.
Théorème du moment cinétique. Le théorème du moment cinétique est un théorème
qui définit la valeur de la dérivée du moment cinétique. Dans le référentiel R galiléen la
dérivée du moment cinétique s’écrit :
d
− →
L o
d t
=
d(
−→
OM ∧ m − → v M/R )
d t
= − → v M/R ∧ m − → v M/R +
−→
OM ∧ m
d − → v M/R
d t
Il en résulte que la dérivée du moment cinétique est égale à la somme des moments des
forces extérieures par rapport au point O (annexe 1, 4.4) :
d
− →
L o
d t
=
−→
OM ∧ m − → a M/R =
−→
OM ∧
− →
F ext =
− →
M o (
− →
F ext )
Causes
Effets
dt
L
d
F
M
o
ext
o
→
→
→
=
∑
)
(
Actions en rotation non compensées
Moment cinétique variable
Figure 3.8 • Théorème du moment cinétique.
Théorème
Dans un référentiel galiléen, la dérivée du moment cinétique d’un point matériel
par rapport à un point fixe O est égale à la somme des moments des forces extérieures appliquées à ce point.
Si le point est en équilibre (pas de rotation) alors la somme des moments des forces extérieures est nulle et le moment cinétique est nul.
Pour un point matériel il est possible d’exprimer la dérivée du moment cinétique à l’aide
du moment d’inertie I D , par rapport à l’axe de rotation choisi. Le moment cinétique du