Cinématique du point
25
4 A : vA = 10 rad.s
−1 ⇒ TA =
2p
v A
; B : vB = 11 rad.s
−1 ⇒ TB =
2p
v b
< TA.
La période de A est supérieure à celle de B qui est donc le plus rapide. Lors de la première
coïncidence, B aura effectué une oscillation de plus que A. On peut donc écrire que la rencontre
se fera à l’instant t = nTA = (n + 1)TB où n représente le nombre d’oscillations effectuées par
A jusqu’à la coïncidence.
n =
T B
T A −T B
=
1
v B
v A
−1
=
1
1,1−1
= 10 ⇒ t = 10TA = 6, 28 s.
Le moins rapide aura effectué 10 oscillations soit une distance de 10 fois 4Xm c’est-à-dire 4 m.
Le plus rapide effectue une oscillation de plus et a donc parcouru 4, 4 m.
5 Vitesse angulaire constante de OA : vo = ˙
u = 10
◦ s
−1 =
p
18
rad.s
−1 .
1) u = vot + uo = 10t + 15 (en degrés) =
p
18
t +
p
12
(en radians)
2) 2u1 = 100
◦ ⇒ t1 =
u 1 −uo
vo
=
50−15
10
= 3, 5 s
3) A a un mouvement circulaire uniforme de rayon OA = 2, 5 m= l et de vitesse angulaire
vo =
p
18
rad.s
−1 . On a donc vA = lvo = 0, 436 m.s
−1 , et − → v A ⊥
− →
OA vers B. L’accélération est
centripète, direction OA, sens de A vers O et a pour expression : a =
v
2
A
l
= v
2
o l = 0, 076 m.s
−1 .
4) OB = 2OA sin u = 5 sin(10t + 15)
◦ = 5 sin(
p
18
t +
p
12
).
5)- − → v B =
d
− →
OB
d t
= − → u x2OAvo cos(vot + uo) = − → u x
5p
18
cos(
p
18
t +
p
12
)
− → a B = − − → u x2OAv
2
o sin(vot + uo) = − − → u x5(
p
18
)
2 sin(
p
18
t +
p
12
).
Pour t = t1 ⇒ vB =
5p
18
cos 50
◦ = 0, 5609 m.s
−1 et aB = −0, 1523 sin 50
◦ = −0, 1166 m.s
−1
6) B a un mouvement rectiligne sinusoïdal d’amplitude 2OA = 5 m et de pulsation vo.
6 Mouvement circulaire uniforme de vitesse constante v = 1800 km.h
−1 = 0, 5.10
3 m.s
−1 . L’accélération est normale et centripète et a pour expression a =
v
2
r
< 10g ⇒ r >
v
2
10g
= 2, 5 km.
7 Roulement sans glissement : pendant la durée d t, le point C effectue vo d t et la roue a tourné
de d u. On a donc a d u = vo d t ⇒ ˙
u =
vo
a
⇒ u =
vo
a
t (en orientant u comme sur le schéma).
− →
OA =
− →
OC +
− →
CA =
ˆ
(vot) − → u x + a − → u y
˜
+
ˆ −a sin u − → u x − a cos u − → u y
˜
− →
OA =
ˆ
vot − a sin
vo
a
t
˜ − → u x + a
ˆ
1 − cos
vo
a
t
˜ − → u y
− → v A =
d
−
→
OA
d t
= vo
ˆ
(1 − cos
vo
a
t) − → u x + − → u y sin
vo
a
t
˜
⇒ ⇒ − → v A = vo
q
(1 − cos
vo
a
t) 2 + sin
2 vo
a
t
− → v A = vo
√
2
p
1 − cos
vo
a
t. Fonction périodique de période T =
2pa
vo
(temps mis pour faire un
tour de roue complet u = 2p). Elle s’annule pour t = nT (avec n nombre entier correspondant
au nombre de tours effectués). Le point A est alors en contact avec le sol. Elle est maximale
pour t = nT +
T
2
et prend alors la valeur de 2vo. Le point A est alors au sommet de la roue.
25
4 A : vA = 10 rad.s
−1 ⇒ TA =
2p
v A
; B : vB = 11 rad.s
−1 ⇒ TB =
2p
v b
< TA.
La période de A est supérieure à celle de B qui est donc le plus rapide. Lors de la première
coïncidence, B aura effectué une oscillation de plus que A. On peut donc écrire que la rencontre
se fera à l’instant t = nTA = (n + 1)TB où n représente le nombre d’oscillations effectuées par
A jusqu’à la coïncidence.
n =
T B
T A −T B
=
1
v B
v A
−1
=
1
1,1−1
= 10 ⇒ t = 10TA = 6, 28 s.
Le moins rapide aura effectué 10 oscillations soit une distance de 10 fois 4Xm c’est-à-dire 4 m.
Le plus rapide effectue une oscillation de plus et a donc parcouru 4, 4 m.
5 Vitesse angulaire constante de OA : vo = ˙
u = 10
◦ s
−1 =
p
18
rad.s
−1 .
1) u = vot + uo = 10t + 15 (en degrés) =
p
18
t +
p
12
(en radians)
2) 2u1 = 100
◦ ⇒ t1 =
u 1 −uo
vo
=
50−15
10
= 3, 5 s
3) A a un mouvement circulaire uniforme de rayon OA = 2, 5 m= l et de vitesse angulaire
vo =
p
18
rad.s
−1 . On a donc vA = lvo = 0, 436 m.s
−1 , et − → v A ⊥
− →
OA vers B. L’accélération est
centripète, direction OA, sens de A vers O et a pour expression : a =
v
2
A
l
= v
2
o l = 0, 076 m.s
−1 .
4) OB = 2OA sin u = 5 sin(10t + 15)
◦ = 5 sin(
p
18
t +
p
12
).
5)- − → v B =
d
− →
OB
d t
= − → u x2OAvo cos(vot + uo) = − → u x
5p
18
cos(
p
18
t +
p
12
)
− → a B = − − → u x2OAv
2
o sin(vot + uo) = − − → u x5(
p
18
)
2 sin(
p
18
t +
p
12
).
Pour t = t1 ⇒ vB =
5p
18
cos 50
◦ = 0, 5609 m.s
−1 et aB = −0, 1523 sin 50
◦ = −0, 1166 m.s
−1
6) B a un mouvement rectiligne sinusoïdal d’amplitude 2OA = 5 m et de pulsation vo.
6 Mouvement circulaire uniforme de vitesse constante v = 1800 km.h
−1 = 0, 5.10
3 m.s
−1 . L’accélération est normale et centripète et a pour expression a =
v
2
r
< 10g ⇒ r >
v
2
10g
= 2, 5 km.
7 Roulement sans glissement : pendant la durée d t, le point C effectue vo d t et la roue a tourné
de d u. On a donc a d u = vo d t ⇒ ˙
u =
vo
a
⇒ u =
vo
a
t (en orientant u comme sur le schéma).
− →
OA =
− →
OC +
− →
CA =
ˆ
(vot) − → u x + a − → u y
˜
+
ˆ −a sin u − → u x − a cos u − → u y
˜
− →
OA =
ˆ
vot − a sin
vo
a
t
˜ − → u x + a
ˆ
1 − cos
vo
a
t
˜ − → u y
− → v A =
d
−
→
OA
d t
= vo
ˆ
(1 − cos
vo
a
t) − → u x + − → u y sin
vo
a
t
˜
⇒ ⇒ − → v A = vo
q
(1 − cos
vo
a
t) 2 + sin
2 vo
a
t
− → v A = vo
√
2
p
1 − cos
vo
a
t. Fonction périodique de période T =
2pa
vo
(temps mis pour faire un
tour de roue complet u = 2p). Elle s’annule pour t = nT (avec n nombre entier correspondant
au nombre de tours effectués). Le point A est alors en contact avec le sol. Elle est maximale
pour t = nT +
T
2
et prend alors la valeur de 2vo. Le point A est alors au sommet de la roue.