Annexes
305
La fonction primitive, F(x), est représentée par la notation suivante :
F(x) =
f (x)dx
La primitive d’une fonction est toujours définie à une constante près puisque la dérivée
d’une constante est nulle. On a donc de façon générale :
f (x)dx = F(x) + C = G(x)
Si l’on connaît une condition sur la fonction G(x) recherchée, alors la constante n’est plus
quelconque. La condition se présente sous la forme G(x o ) = C o . On obtient une détermination de C en reportant cette relation dans l’expression de la primitive.
La solution recherchée est donc unique :
G(x) =
f (x)dx = F(x) − F(x o ) + C o
8.2. Intégrale définie
Si, au lieu d’intégrer de façon générale la fonction f (x), celle-ci est intégrée entre deux
bornes a et b, nous obtenons à l’issue du calcul un nombre appelé intégrale définie de f ,
ou intégrale simple de f entre a et b :
b
a
f (x)dx = F(b) − F(a)
(1.3)
Ce résultat ne dépend pas du choix de la primitive car par différence, la constante qui
peut différencier deux primitives disparaît.
Remarque. Lorsque l’on recherche une primitive dont on connaît une condition pour une
valeur x o de la variable de la forme G(x o ) = C o , on peut pratiquer comme indiqué dans le
paragraphe 8.1., c’est-à-dire déterminer la primitive et ensuite calculer la constante pour
que la condition soit vérifiée. On peut aussi calculer l’intégrale de la fonction f (x) entre
deux bornes, l’une correspondant à x o pour laquelle on connaît la valeur G(x o ), l’autre
correspondant à une valeur quelconque de la variable. Si F(x) est une primitive de f (x) et
G(x) la primitive correspondant à la solution recherchée, on aura :
x
xo
f (x)dx = F(x) − F(x o ) = G(x) − C o
soit
G(x) = F(x) − F(x o ) + C o
305
La fonction primitive, F(x), est représentée par la notation suivante :
F(x) =
f (x)dx
La primitive d’une fonction est toujours définie à une constante près puisque la dérivée
d’une constante est nulle. On a donc de façon générale :
f (x)dx = F(x) + C = G(x)
Si l’on connaît une condition sur la fonction G(x) recherchée, alors la constante n’est plus
quelconque. La condition se présente sous la forme G(x o ) = C o . On obtient une détermination de C en reportant cette relation dans l’expression de la primitive.
La solution recherchée est donc unique :
G(x) =
f (x)dx = F(x) − F(x o ) + C o
8.2. Intégrale définie
Si, au lieu d’intégrer de façon générale la fonction f (x), celle-ci est intégrée entre deux
bornes a et b, nous obtenons à l’issue du calcul un nombre appelé intégrale définie de f ,
ou intégrale simple de f entre a et b :
b
a
f (x)dx = F(b) − F(a)
(1.3)
Ce résultat ne dépend pas du choix de la primitive car par différence, la constante qui
peut différencier deux primitives disparaît.
Remarque. Lorsque l’on recherche une primitive dont on connaît une condition pour une
valeur x o de la variable de la forme G(x o ) = C o , on peut pratiquer comme indiqué dans le
paragraphe 8.1., c’est-à-dire déterminer la primitive et ensuite calculer la constante pour
que la condition soit vérifiée. On peut aussi calculer l’intégrale de la fonction f (x) entre
deux bornes, l’une correspondant à x o pour laquelle on connaît la valeur G(x o ), l’autre
correspondant à une valeur quelconque de la variable. Si F(x) est une primitive de f (x) et
G(x) la primitive correspondant à la solution recherchée, on aura :
x
xo
f (x)dx = F(x) − F(x o ) = G(x) − C o
soit
G(x) = F(x) − F(x o ) + C o