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Mécanique du point
Comme les dérivées partielles croisées sont égales, il existe bien une fonction f (x, y)
qui vérifie :
df = 6xydx + 3x
2 dy =
∂f
∂x
dx +
∂f
∂y
dy
donc
∂f
∂x
= 6xy =⇒ f (x, y) =
6xydx = 3x
2 y + g(y)
La primitive est déterminée à une fonction de y près car y est considéré comme
constant dans l’intégration ci-dessus.
La deuxième égalité est utilisée pour déterminer la fonction g(y). La solution est donc :
∂f
∂y
= 3x
2 + g
(y) = G(x, y) =⇒ g
(y) = 0 =⇒ g(y) = C
La solution finale s’écrit :
f (x, y) = 3x
2 y + C
6.5. Différentielle d’un vecteur
a) Calcul en coordonnées cartésiennes
Considérons (figure A1.20) un vecteur
−→
OM de composantes (x, y) dans le repère (O,
− →
i ,
− →
j ).
Nous allons considérer que l’extrémité M de ce vecteur se déplace en un point M
très proche de M (déplacement élémentaire). Les coordonnées de M
deviennent
(x
= x+dx, y
= y+dy) avec dx et dy des déplacements infiniment petits. Nous cherchons à déterminer la différentielle du vecteur
−→
OM, c’est-à-dire sa variation
− − →
MM
.
Il est facile de voir que :
−−→
MM
=
− − →
OM
−
−→
OM = dx
− →
i + dy
− →
j
Cette quantité est appelée différentielle du vecteur
−→
OM et notée d
−→
OM ou encore déplacement élémentaire d
− →
l .
y
M (x,y)
x
i
→
j
→
O
x
y
dx
MH
j
dy
HM
→
i
→
.
.
=
=
M
(x+dx, y+dy)
H(x+dx, y)
Figure A1.20 • Illustration du calcul de la différentielle d’un vecteur en
coordonnées cartésiennes.
La différentielle de ce vecteur considéré comme potentiellement variable est aussi calculable directement à partir de l’expression de
−→
OM et conduit, en trois dimensions, à la
relation suivante :
d
−→
OM = dx
− →
i + dy
− →
j + dz
− →
k