20
Mécanique du point
5) Représenter la trajectoire, le vecteur vitesse angulaire − → v , le vecteur vitesse
− →
V ainsi
que le vecteur accélération − → a en un point M quelconque.
Solution
1) (x − 1)
2 + y
2 = cos
2 t + sin
2 t = 1 ⇒ trajectoire est un cercle de centre x o = 1 m et
y o = 0 soit
− →
OC = − → u x et de rayon R = 1 m (dans le plan Oxy).
2)
⎧
⎨
⎩
˙ x = − sin t
˙ y = cos t
˙ z = 0
⇒
− →
V = − sin t − → u x + cos t − → u y ⇒
− →
V
= sin
2 t + cos
2 t = 1 m.s
−1 .
La vitesse est constante, le mouvement est donc uniforme. Le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire circulaire (perpendiculaire au rayon correspondant).
3) − → v = v. − → u z , ⇒ v =
V
R
= 1 rad.s
−1
4)
⎧
⎨
⎩
¨ x = − cos t
¨ y = − sin t
¨ z = 0
⇒ − → a = −(cos t) − → u x − (sin t) − → u y .
Ce vecteur est normal et centripète (mouvement
circulaire uniforme) dirigé de M vers C. Ce vecteur est perpendiculaire au vecteur vitesse.
− →
CM =
−→
OM −
− →
OC =
−→
OM − − → u x
− →
CM = (1 + cos t − 1) − → u x + (sin t) − → u y = − − → a
O
C
M
x
u
V
a
ω
x
y
→
→ →
→
Figure 1.17
EXERCICES CORRIGÉS
1 Mouvement rectiligne uniforme. À l’instant t = 0, deux navires, N
et N, sont situés
sur un même méridien. Le navire N
està une distance a au nord de N.
1) N se dirige vers le nord à la vitesse v, N
vers l’est avec la vitesse constante v
.
Quelle sera la distance minimale entre les deux navires ?
2) N
se dirige vers l’est avec la vitesse v
. constante. Quelle direction doit prendre N
pour atteindre N
en ligne droite ? Calculer la durée correspondante.
A
B
C
d
D
l
x
Figure 1.18
2 Mouvement rectiligne uniforme. Un
tracteur partant d’un point A situé sur
une route rectiligne doit atteindre un
point B situé dans un champ à la distance
d = CB de la route, et ce, dans un temps
minimal (voir figure 1.18). On suppose
les trajets successifs AD et DB rectilignes
et parcourus à vitesse constante par le
tracteur qui va deux fois moins vite dans
le champ que sur la route. On pose
AC = l et AD = x.
Mécanique du point
5) Représenter la trajectoire, le vecteur vitesse angulaire − → v , le vecteur vitesse
− →
V ainsi
que le vecteur accélération − → a en un point M quelconque.
Solution
1) (x − 1)
2 + y
2 = cos
2 t + sin
2 t = 1 ⇒ trajectoire est un cercle de centre x o = 1 m et
y o = 0 soit
− →
OC = − → u x et de rayon R = 1 m (dans le plan Oxy).
2)
⎧
⎨
⎩
˙ x = − sin t
˙ y = cos t
˙ z = 0
⇒
− →
V = − sin t − → u x + cos t − → u y ⇒
− →
V
= sin
2 t + cos
2 t = 1 m.s
−1 .
La vitesse est constante, le mouvement est donc uniforme. Le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire circulaire (perpendiculaire au rayon correspondant).
3) − → v = v. − → u z , ⇒ v =
V
R
= 1 rad.s
−1
4)
⎧
⎨
⎩
¨ x = − cos t
¨ y = − sin t
¨ z = 0
⇒ − → a = −(cos t) − → u x − (sin t) − → u y .
Ce vecteur est normal et centripète (mouvement
circulaire uniforme) dirigé de M vers C. Ce vecteur est perpendiculaire au vecteur vitesse.
− →
CM =
−→
OM −
− →
OC =
−→
OM − − → u x
− →
CM = (1 + cos t − 1) − → u x + (sin t) − → u y = − − → a
O
C
M
x
u
V
a
ω
x
y
→
→ →
→
Figure 1.17
EXERCICES CORRIGÉS
1 Mouvement rectiligne uniforme. À l’instant t = 0, deux navires, N
et N, sont situés
sur un même méridien. Le navire N
està une distance a au nord de N.
1) N se dirige vers le nord à la vitesse v, N
vers l’est avec la vitesse constante v
.
Quelle sera la distance minimale entre les deux navires ?
2) N
se dirige vers l’est avec la vitesse v
. constante. Quelle direction doit prendre N
pour atteindre N
en ligne droite ? Calculer la durée correspondante.
A
B
C
d
D
l
x
Figure 1.18
2 Mouvement rectiligne uniforme. Un
tracteur partant d’un point A situé sur
une route rectiligne doit atteindre un
point B situé dans un champ à la distance
d = CB de la route, et ce, dans un temps
minimal (voir figure 1.18). On suppose
les trajets successifs AD et DB rectilignes
et parcourus à vitesse constante par le
tracteur qui va deux fois moins vite dans
le champ que sur la route. On pose
AC = l et AD = x.