Trajectoires d’un système à deux corps
281
À l’apogée, c’est-à-dire au point A de cette trajectoire elliptique, nous avons r1v1 = C et par
hypothèse r1 = r0 donc v1 =
C
r 0
=
1
r 0
p
g0R
3
T ⇒ v
2
1 =
R T
r 0
v
2
0 .
6) La variation d’énergie cinétique est
DEc =
1
2
m
`
v
2
1 − v
2
0
´
=
1
2
mv
2
0
„
RT
r0
− 1
«
=
mg0R
2
T
2r0
„
RT
r0
− 1
«
10 1) La trajectoire est elliptique si l’énergie mécanique est négative, soit :
E =
1
2
mv
2
0 − G
mMT
r0
< 0 =⇒ v
2
0 < 2G
MT
r0
.
2) Le point de lancement est le périgée si v0 est perpendiculaire à r0 et si r0 est miminum.
Le point de lancement est l’apogée si v0 est perpendiculaire à r0 et si r0 est maximum.
3) L’ellipse ne recoupe pas la Terre si r =
p
1+e cos u
> RT.
11 Orbite de transfert
1) La nouvelle orbite est elliptique.
2) En M1 la vitesse v
1 tangente à la trajectoire est perpendiculaire à OM1; donc ce point est le
périgée. Le point M2 diamétralement opposé est donc l’apogée. En cette position, la vitesse
est de nouveau perpendiculaire à OM2 donc l’orbite (E) est bien tangente en M2 au cercle (C2).
Le grand axe de l’ellipse est égal à 2a = R1 + R2. On en conclut que a =
R 1 +R 2
2
= 7 200 km
et T
2
E =
4p
2 a
3
GM T
1 h 40 min.
3) La vitesse v
1 est donnée par la conservation de l’énergie
E =
1
2
mv
2
1 − G
mM T
R 1
= −G
mM T
2a
=⇒ v
2
1 = 2G
M T
R 1
− G
M T
a
7, 79 km.s
−1 .
Il est clair que la vitesse v
2 doit satisfaire v
2 R2 = v
1 R1 = C =⇒ v
2 = v
1
R 1
R 2
7,371 km.s
−1 .
4) Sur une orbite circulaire de rayon R2, la vitesse vérifie (application du PFD) v2 =
q
G
M T
R 2
et
l’énergie est E2 =
1
2
mv
2
2 − G
mM T
R 2
= −G
mM T
2R 2
.
La variation d’énergie cinétique s’écrit :
DEc =
1
2
mv
2
1 −
1
2
mv
2
1 +
1
2
mv
2
2 −
1
2
mv
2
2
=
„
G
mMT
R1
− G
mMT
2a
«
− G
mMT
2R1
+ G
mMT
2R2
−
„
G
mMT
R2
− G
mMT
2a
« .
DEc = G
mMT
2R1
− G
mMT
2R2
. E2 − E1 = G
mMT
2R1
− G
mMT
2R2
= DEc.
La variation d’energie cinétique correspond au travail des moteurs.
Le travail des moteurs s’effectue sans changement d’énergie potentielle. On retrouve donc le
fait que la variation d’énergie mécanique correspond à la variation d’énergie cinetique.
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À l’apogée, c’est-à-dire au point A de cette trajectoire elliptique, nous avons r1v1 = C et par
hypothèse r1 = r0 donc v1 =
C
r 0
=
1
r 0
p
g0R
3
T ⇒ v
2
1 =
R T
r 0
v
2
0 .
6) La variation d’énergie cinétique est
DEc =
1
2
m
`
v
2
1 − v
2
0
´
=
1
2
mv
2
0
„
RT
r0
− 1
«
=
mg0R
2
T
2r0
„
RT
r0
− 1
«
10 1) La trajectoire est elliptique si l’énergie mécanique est négative, soit :
E =
1
2
mv
2
0 − G
mMT
r0
< 0 =⇒ v
2
0 < 2G
MT
r0
.
2) Le point de lancement est le périgée si v0 est perpendiculaire à r0 et si r0 est miminum.
Le point de lancement est l’apogée si v0 est perpendiculaire à r0 et si r0 est maximum.
3) L’ellipse ne recoupe pas la Terre si r =
p
1+e cos u
> RT.
11 Orbite de transfert
1) La nouvelle orbite est elliptique.
2) En M1 la vitesse v
1 tangente à la trajectoire est perpendiculaire à OM1; donc ce point est le
périgée. Le point M2 diamétralement opposé est donc l’apogée. En cette position, la vitesse
est de nouveau perpendiculaire à OM2 donc l’orbite (E) est bien tangente en M2 au cercle (C2).
Le grand axe de l’ellipse est égal à 2a = R1 + R2. On en conclut que a =
R 1 +R 2
2
= 7 200 km
et T
2
E =
4p
2 a
3
GM T
1 h 40 min.
3) La vitesse v
1 est donnée par la conservation de l’énergie
E =
1
2
mv
2
1 − G
mM T
R 1
= −G
mM T
2a
=⇒ v
2
1 = 2G
M T
R 1
− G
M T
a
7, 79 km.s
−1 .
Il est clair que la vitesse v
2 doit satisfaire v
2 R2 = v
1 R1 = C =⇒ v
2 = v
1
R 1
R 2
7,371 km.s
−1 .
4) Sur une orbite circulaire de rayon R2, la vitesse vérifie (application du PFD) v2 =
q
G
M T
R 2
et
l’énergie est E2 =
1
2
mv
2
2 − G
mM T
R 2
= −G
mM T
2R 2
.
La variation d’énergie cinétique s’écrit :
DEc =
1
2
mv
2
1 −
1
2
mv
2
1 +
1
2
mv
2
2 −
1
2
mv
2
2
=
„
G
mMT
R1
− G
mMT
2a
«
− G
mMT
2R1
+ G
mMT
2R2
−
„
G
mMT
R2
− G
mMT
2a
« .
DEc = G
mMT
2R1
− G
mMT
2R2
. E2 − E1 = G
mMT
2R1
− G
mMT
2R2
= DEc.
La variation d’energie cinétique correspond au travail des moteurs.
Le travail des moteurs s’effectue sans changement d’énergie potentielle. On retrouve donc le
fait que la variation d’énergie mécanique correspond à la variation d’énergie cinetique.