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Mécanique du point
peuvent être obtenues que si l’on connaît au préalable l’accélération de ce point. C’est
en faisant le bilan des actions qui agissent sur le point matériel que l’on détermine,
par la relation fondamentale de la dynamique, l’accélération du point matériel. On
obtient alors l’équation différentielle du mouvement du point matériel, c’est-à-dire
une équation qui relie l’accélération, la vitesse et la position instantanée du point à
la variable t. Nous distinguerons plusieurs types d’équations différentielles selon leurs
formes. À titre d’exemple non exhaustif, nous trouvons les équations différentielles
suivantes :
¨ x = 0 ;
˙ x + ax = 0 ;
¨ x + a˙ x + bx = 0
La dernière équation est sans doute l’une des équations les plus connues de la physique
puisqu’on la rencontre dans tous les problèmes d’oscillateurs, que ce soit en mécanique
ou en électricité. Cette équation fait intervenir seulement la variable x ainsi que ses dérivées. Elle est qualifiée de linéaire car si la variable x est multipliée par une constante
il en va de même pour ses dérivées, ce qui fait que la forme de l’équation n’est pas modifiée si elle est multipliée par une constante. Sa résolution ne pose pas de difficultés
particulières. Il faut cependant noter que ce type d’équation résulte d’une modélisation souvent simplifiée de phénomènes physiques et que la réalité est parfois plus
complexe. Les problèmes réels font souvent appel à des équations différentielles non
linéaires qui associent par exemple la variable x à une puissance n > 1 à ses dérivées,
comme l’équation suivante :
˙ x + ax
3 = 0
On voit alors que, si la variable x est multipliée par une constante, l’équation change
de forme. Dans de tels cas l’utilisation de l’ordinateur devient le seul recours possible pour déterminer la solution qui dépend très fortement des conditions initiales
du mouvement (« effet papillon »).
À partir de l’équation différentielle du mouvement du point, on détermine les équations horaires du mouvement. Il importe de noter que généralement il existe autant
d’équations différentielles qu’il y a de variables de position dans le problème. L’obtention des équations horaires du mouvement se fait par intégration des équations
différentielles.
5. EXEMPLES DE MOUVEMENTS
5.1. Mouvements rectilignes
a) Le mouvement rectiligne uniforme
O
M
→
v = cste
x
Figure 1.12 • Mouvement rectiligne
uniforme ; le point M se déplace sur
une droite à vitesse constante.
Un mouvement d’un point matériel est dit
rectiligne uniforme si le point matériel se
déplace à vecteur vitesse constant.
Mouvement rectiligne uniforme ⇐⇒ v =
− →
cste
Mécanique du point
peuvent être obtenues que si l’on connaît au préalable l’accélération de ce point. C’est
en faisant le bilan des actions qui agissent sur le point matériel que l’on détermine,
par la relation fondamentale de la dynamique, l’accélération du point matériel. On
obtient alors l’équation différentielle du mouvement du point matériel, c’est-à-dire
une équation qui relie l’accélération, la vitesse et la position instantanée du point à
la variable t. Nous distinguerons plusieurs types d’équations différentielles selon leurs
formes. À titre d’exemple non exhaustif, nous trouvons les équations différentielles
suivantes :
¨ x = 0 ;
˙ x + ax = 0 ;
¨ x + a˙ x + bx = 0
La dernière équation est sans doute l’une des équations les plus connues de la physique
puisqu’on la rencontre dans tous les problèmes d’oscillateurs, que ce soit en mécanique
ou en électricité. Cette équation fait intervenir seulement la variable x ainsi que ses dérivées. Elle est qualifiée de linéaire car si la variable x est multipliée par une constante
il en va de même pour ses dérivées, ce qui fait que la forme de l’équation n’est pas modifiée si elle est multipliée par une constante. Sa résolution ne pose pas de difficultés
particulières. Il faut cependant noter que ce type d’équation résulte d’une modélisation souvent simplifiée de phénomènes physiques et que la réalité est parfois plus
complexe. Les problèmes réels font souvent appel à des équations différentielles non
linéaires qui associent par exemple la variable x à une puissance n > 1 à ses dérivées,
comme l’équation suivante :
˙ x + ax
3 = 0
On voit alors que, si la variable x est multipliée par une constante, l’équation change
de forme. Dans de tels cas l’utilisation de l’ordinateur devient le seul recours possible pour déterminer la solution qui dépend très fortement des conditions initiales
du mouvement (« effet papillon »).
À partir de l’équation différentielle du mouvement du point, on détermine les équations horaires du mouvement. Il importe de noter que généralement il existe autant
d’équations différentielles qu’il y a de variables de position dans le problème. L’obtention des équations horaires du mouvement se fait par intégration des équations
différentielles.
5. EXEMPLES DE MOUVEMENTS
5.1. Mouvements rectilignes
a) Le mouvement rectiligne uniforme
O
M
→
v = cste
x
Figure 1.12 • Mouvement rectiligne
uniforme ; le point M se déplace sur
une droite à vitesse constante.
Un mouvement d’un point matériel est dit
rectiligne uniforme si le point matériel se
déplace à vecteur vitesse constant.
Mouvement rectiligne uniforme ⇐⇒ v =
− →
cste