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Mécanique du point
Le mouvement est nécessairement uniforme. Le vecteur vitesse s’écrit en coordonnées
polaires :
− → v = v 0
− → u u = r 0 v 0
− → u u
Nous obtenons donc la relation suivante entre vitesse et rayon :
G
M
r
2
0
= r 0 v
2
0 =
v
2
0
r 0
=⇒ v
2
0 = G
M
r 0
La trajectoire circulaire s’effectue dans un plan passant par le centre de la Terre O, le point
P et contenant le vecteur vitesse. La période T du mouvement est :
T =
2pr 0
v 0
=⇒ T
2 =
4p
2 r
2
0
v
2
0
=
4p
2 r
3
0
GM
La vitesse du satellite est inversement proportionnelle à la racine carrée du rayon et la
période au carré est proportionnelle au rayon au cube ce qui constitue l’une des lois de
Kepler comme nous le verrons au chapitre 10.
b) Satellite géostationnaire
Un satellite géostationnaire est un satellite qui paraît toujours immobile par rapport à un
observateur situé sur Terre. Il est donc immobile dans un référentiel terrestre. Ce dernier ayant un mouvement de rotation autour de son axe avec une vitesse angulaire V,
le satellite doit admettre le même axe de rotation et la même vitesse angulaire V. Son
mouvement étant uniforme, sa trajectoire est circulaire dans un plan contenant le centre O
de la Terre et perpendiculaire à l’axe Sud-Nord. Il s’effectue donc nécessairement dans le
plan équatorial.
La vitesse angulaire d’un satellite étant fixée, le rayon de sa trajectoire l’est automatiquement.
Si T t est la période de rotation de la Terre sur elle-même, nous obtenons :
T
2
t =
4p
2 r
3
S
GM
=⇒ r S =
3
GMT
2
t
4p 2
On trouve un rayon d’orbite circulaire d’environ 42 000 km ce qui, compte tenu du rayon
terrestre, conduit à une altitude de 36 000 km.
De tels satellites permettent des liaisons radio permanentes entre deux continents d’où ils
sont visibles.
c) Énergie d’un satellite géostationnaire
L’énergie mécanique du satellite est égale à la somme de son énergie cinétique E c et de
son énergie potentielle E P . En utilisant les résultats précédents, nous voyons que :
E c =
1
2
mv
2
0 =
GMm
2r 0
et
E P = −
GmM
r 0
soit :
E = E c + E P = −
GmM
2r 0
Cette énergie est négative et correspond à la moitié de l’énergie potentielle de gravitation.
Mécanique du point
Le mouvement est nécessairement uniforme. Le vecteur vitesse s’écrit en coordonnées
polaires :
− → v = v 0
− → u u = r 0 v 0
− → u u
Nous obtenons donc la relation suivante entre vitesse et rayon :
G
M
r
2
0
= r 0 v
2
0 =
v
2
0
r 0
=⇒ v
2
0 = G
M
r 0
La trajectoire circulaire s’effectue dans un plan passant par le centre de la Terre O, le point
P et contenant le vecteur vitesse. La période T du mouvement est :
T =
2pr 0
v 0
=⇒ T
2 =
4p
2 r
2
0
v
2
0
=
4p
2 r
3
0
GM
La vitesse du satellite est inversement proportionnelle à la racine carrée du rayon et la
période au carré est proportionnelle au rayon au cube ce qui constitue l’une des lois de
Kepler comme nous le verrons au chapitre 10.
b) Satellite géostationnaire
Un satellite géostationnaire est un satellite qui paraît toujours immobile par rapport à un
observateur situé sur Terre. Il est donc immobile dans un référentiel terrestre. Ce dernier ayant un mouvement de rotation autour de son axe avec une vitesse angulaire V,
le satellite doit admettre le même axe de rotation et la même vitesse angulaire V. Son
mouvement étant uniforme, sa trajectoire est circulaire dans un plan contenant le centre O
de la Terre et perpendiculaire à l’axe Sud-Nord. Il s’effectue donc nécessairement dans le
plan équatorial.
La vitesse angulaire d’un satellite étant fixée, le rayon de sa trajectoire l’est automatiquement.
Si T t est la période de rotation de la Terre sur elle-même, nous obtenons :
T
2
t =
4p
2 r
3
S
GM
=⇒ r S =
3
GMT
2
t
4p 2
On trouve un rayon d’orbite circulaire d’environ 42 000 km ce qui, compte tenu du rayon
terrestre, conduit à une altitude de 36 000 km.
De tels satellites permettent des liaisons radio permanentes entre deux continents d’où ils
sont visibles.
c) Énergie d’un satellite géostationnaire
L’énergie mécanique du satellite est égale à la somme de son énergie cinétique E c et de
son énergie potentielle E P . En utilisant les résultats précédents, nous voyons que :
E c =
1
2
mv
2
0 =
GMm
2r 0
et
E P = −
GmM
r 0
soit :
E = E c + E P = −
GmM
2r 0
Cette énergie est négative et correspond à la moitié de l’énergie potentielle de gravitation.