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Mécanique du point
e) Équation caractéristique : r
2 +2lr+v
2
o = 0 ⇒ D = 4(l
2
−v
2
o ) = (2j)
2 (v
2
o −l
2 ).
On a donc comme solution : r = −l ± jw avec
w =
v 2
o − l 2 = v o
1 −
l 2
v 2
o
≈ v o (cas l v o )
B) Présence de tremblements de Terre (ou mouvements sismiques).
Le socle a le même mouvement que le sol par rapport à (R). Le référentiel socle (S)
n’est plus galiléen car il n’est pas en translation rectiligne uniforme par rapport à
(R) galiléen. Il est en translation rectiligne sinusoïdale. L’accélération d’entraînement
correspond à l’accélération du point O ou d’un point quelconque du socle. On a donc :
X(t) = X m cos(vt) ⇒ ˙
X = −vX sin vt ⇒ ¨
X = a e = −v
2 X cos jt
Le référentiel socle n’est plus galiléen, il faut donc ajouter la force d’inertie d’entraînement
− →
F i = −m − → a e =
mv
2 X m cos vt
− → u x
Étude des oscillations forcées dans le référentiel socle (S)
a) Étude du système masse m (cas de la figure d) dans le référentiel socle (S) :
m − → a = m¨ x − → u x = −kx − → u x − a˙ x − → u x + mv
2 X m cos vt
= ⇒ ¨ x +
a
m
˙ x +
k
m
x =
mv
2 X m
m
cos v
¨ x + 2l˙ x + v
2
o x = A cos(vt) avec A = v
2 X m
b) x(t) = x m cos(vt + w) En notation complexe on pose :
X(t) = X m cos(vt)
⇒ X(t) = X m e
jvt
x(t) = x m cos(vt + w) ⇒ x(t) = x m e
jw e
jvt = x m e
jvt
avec j
2 = −1
(−v
2 + 2ljv + v
2
o )x m = v
2 X m ⇒ x m =
v
2 X m
(v 2
o − v 2 ) + 2jvl
x m =
X m
2j
l
v − (1 −
v
2
o
v 2
)
x m =
X m
4
l 2
v 2 + (1 −
v 2
o
v 2 ) 2
c) avec l v o v on a :
x m ≈
X m
1 − 2
v
2
o
v 2 + 4
l
2
v 2
≈ X m
1 − 2
v
2
o
v 2 + 4
l
2
v 2
1
2
≈ X m (1 −
v
2
o
v 2 + 2
l
2
v 2 ) ≈ X m
au deuxième ordre près. La mesure de x m permet de mesurer l’amplitude du
tremblement.