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Mécanique du point
ce qui conduit à :
Dv =
a
m
=⇒ Q =
mv 0
a
=
k
av 0
Remarques
Nous revenons maintenant sur la résonance d’amplitude qui, rappelons-le, est la plus
facile à mesurer. Nous avons vu que l’amplitude maximale des oscillations dépendait de la
pulsation. En particulier lorsque la pulsation est égale à la pulsation propre de l’oscillateur
nous avons :
X 0 (v 0 ) =
F 0
av 0
=⇒ X 0 (v 0 ) =
ke
av 0
= Qe
Nous voyons ainsi que le facteur de qualité représente simplement le rapport de l’amplitude maximale à la pulsation propre sur la valeur de l’excentrique e. Cette observation est
particulièrement utile pour déterminer le facteur de qualité Q. En effet la valeur de e se
mesure facilement, de même que celle de X 0 (v 0 ). Si l’on revient à la figure 6.4, on voit
par exemple que pour a = 0,01, l’amplitude maximale à la pulsation propre est de 14 cm
pour un excentrique de 2 cm. Le facteur de qualité est donc de 7, ce qui est confirmé par
le calcul direct.
Si Q est grand, la tension du ressort peut devenir très importante devant la force excitatrice. L’amplitude devenant très grande, il y a un risque de rupture du ressort. Il faut
donc faire extrêmement attention, quand on étudie un oscillateur, à ne pas passer par la
résonance quand le coefficient d’amortissement a est très petit. C’est le cas d’une masse
attachée à un ressort excitée par l’excentrique dans l’air, pour lequel le facteur de qualité
peut être très grand (de l’ordre de 1 000).
À RETENIR
➤ Étude de l’amplitude
Équation différentielle d’un oscillateur entretenu
m¨ x + a˙ x + kx = F 0 cos vt
En passant en notation complexe et en posant x(t) = X 0 e
j(vt+fa) on obtient
X 0 =
F 0
m
(v
2
0 − v 2 ) 2 +
v 2 a 2
m 2 )
et tan f a = −
va
m(v
2
0 − v 2 )
➤ Étude de la vitesse
L’équation qui donne l’amplitude et la phase de la vitesse est
V 0 e
j(vt+fv) (mjv + a +
k
jv
) = F 0 e
jvt
Mécanique du point
ce qui conduit à :
Dv =
a
m
=⇒ Q =
mv 0
a
=
k
av 0
Remarques
Nous revenons maintenant sur la résonance d’amplitude qui, rappelons-le, est la plus
facile à mesurer. Nous avons vu que l’amplitude maximale des oscillations dépendait de la
pulsation. En particulier lorsque la pulsation est égale à la pulsation propre de l’oscillateur
nous avons :
X 0 (v 0 ) =
F 0
av 0
=⇒ X 0 (v 0 ) =
ke
av 0
= Qe
Nous voyons ainsi que le facteur de qualité représente simplement le rapport de l’amplitude maximale à la pulsation propre sur la valeur de l’excentrique e. Cette observation est
particulièrement utile pour déterminer le facteur de qualité Q. En effet la valeur de e se
mesure facilement, de même que celle de X 0 (v 0 ). Si l’on revient à la figure 6.4, on voit
par exemple que pour a = 0,01, l’amplitude maximale à la pulsation propre est de 14 cm
pour un excentrique de 2 cm. Le facteur de qualité est donc de 7, ce qui est confirmé par
le calcul direct.
Si Q est grand, la tension du ressort peut devenir très importante devant la force excitatrice. L’amplitude devenant très grande, il y a un risque de rupture du ressort. Il faut
donc faire extrêmement attention, quand on étudie un oscillateur, à ne pas passer par la
résonance quand le coefficient d’amortissement a est très petit. C’est le cas d’une masse
attachée à un ressort excitée par l’excentrique dans l’air, pour lequel le facteur de qualité
peut être très grand (de l’ordre de 1 000).
À RETENIR
➤ Étude de l’amplitude
Équation différentielle d’un oscillateur entretenu
m¨ x + a˙ x + kx = F 0 cos vt
En passant en notation complexe et en posant x(t) = X 0 e
j(vt+fa) on obtient
X 0 =
F 0
m
(v
2
0 − v 2 ) 2 +
v 2 a 2
m 2 )
et tan f a = −
va
m(v
2
0 − v 2 )
➤ Étude de la vitesse
L’équation qui donne l’amplitude et la phase de la vitesse est
V 0 e
j(vt+fv) (mjv + a +
k
jv
) = F 0 e
jvt