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Mécanique du point
Pour un oscillateur harmonique, la trajectoire de phase est donc une ellipse
2 (figure 5.16).
L’ellipse se répète indéfiniment dans le temps, ce qui est une signature de la conservation
de l’énergie de l’oscillateur. Nous remarquons de plus qu’elle peut être parcourue dans un
sens ou dans un autre, ce qui montre que le mouvement est invariant par renversement
du temps. Pour un oscillateur harmonique donné, il est clair que le portrait de phase ne
dépend que de l’énergie mécanique E de l’oscillateur.
-1
0
1
-3
-2
-1
0
1
2
3
v(t)
x(t)
0
1
2
3
4
5
6
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
x(t)
t (s)
Figure 5.16 • Représentation de l’élongation de l’oscillateur harmonique en
fonction du temps (à gauche) et du portrait de phase (à droite).
Pour un oscillateur amorti, l’énergie ne se conserve plus et diminue au cours du temps.
L’amplitude des oscillations décroît exponentiellement au cours du temps ainsi que la
vitesse. La trajectoire de phase est alors caractérisée par une spirale logarithmique dont
le centre (x = 0, v = 0) porte le nom d’attracteur (figure 5.17).
-3
-2
-1
0
1
2
v(t)
x(t)
0
1
2
3
4
5
6
x(t)
t (s)
1,0
0,5
0,0
-0,5
-1,0 -0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
Figure 5.17 • Représentation de l’élongation de l’oscillateur amorti en
fonction du temps (à gauche) et du portrait de phase (à droite).
Il n’est pas indifférent de parcourir la spirale dans un sens ou dans l’autre, ce qui montre
bien que le mouvement n’est plus invariant par renversement du temps. Il est clair en effet
que le frottement engendre inéluctablement l’irréversibilité du mouvement.
2. Il arrive souvent que l’on utilise comme coordonnées de l’espace des phases x et v/v. Dans ce cas l’ellipse se
transforme en cercle.