136
Mécanique du point
Le régime est dit critique car il correspond à un amortissement critique pour lequel on
bascule du régime pseudopériodique vers un régime où il n’y a plus d’oscillations.
Les constantes A et B sont déterminées par les conditions initiales du mouvement. qui sont
supposées être x = X max et v = 0 à t = 0. L’introduction de ces deux conditions conduit à
une solution du type :
x (t) = X max
1 +
a
2m
t
e
−
a
2m
t
Dans la pratique, ce régime est extrêmement important car lorsqu’il est atteint, l’oscillateur revient dans sa position d’équilibre au bout d’un temps minimal. C’est ainsi que
ce régime est mis à profit dans les systèmes d’amortisseurs qui ont pour but d’empêcher
les oscillations d’un oscillateur. La figure 5.11 montre le retour à l’équilibre d’un ressort
amorti en régime critique. La période propre d’oscillation est de 3,14 s et le retour à
l’équilibre est de l’ordre de cette valeur.
0
2
4
6
8
1 0
0
1
2
3
4
5
α =0,8
Régime apériodique
α =0,4
T 0 =3,14s
Régime critique
m=0,1kg
x max =5cm
x(t) (cm)
t (s)
Figure 5.11 • Évolution de l’élongation d’un ressort amorti en régime
critique (trait plein) et en régime apériodique (trait pointillé).
5.4. Régime apériodique
Le régime est dit apériodique lorsque l’oscillateur est tellement amorti qu’il ne peut plus
osciller. Il correspond à a > 0. La solution de l’équation différentielle est de la forme
suivante :
x (t) = e
−
a
2m
t (Ae
−t
q
a 2
4m 2 −v
2
0 + Be
t
q
a 2
4m 2 −v
2
0 )
Le mouvement de l’oscillateur n’est plus périodique et la masse m revient dans sa position d’équilibre au bout d’un temps qui en principe tends vers l’infini. Si nous fixons les
conditions initiales pour que x(0) = x max et v(0) = 0 comme précédemment il vient :
A =
x max
2
1 −
a
2mv
B =
x max
2
1 +
a
2mv
avec v =
a 2
4m 2 − v
2
0 .
Mécanique du point
Le régime est dit critique car il correspond à un amortissement critique pour lequel on
bascule du régime pseudopériodique vers un régime où il n’y a plus d’oscillations.
Les constantes A et B sont déterminées par les conditions initiales du mouvement. qui sont
supposées être x = X max et v = 0 à t = 0. L’introduction de ces deux conditions conduit à
une solution du type :
x (t) = X max
1 +
a
2m
t
e
−
a
2m
t
Dans la pratique, ce régime est extrêmement important car lorsqu’il est atteint, l’oscillateur revient dans sa position d’équilibre au bout d’un temps minimal. C’est ainsi que
ce régime est mis à profit dans les systèmes d’amortisseurs qui ont pour but d’empêcher
les oscillations d’un oscillateur. La figure 5.11 montre le retour à l’équilibre d’un ressort
amorti en régime critique. La période propre d’oscillation est de 3,14 s et le retour à
l’équilibre est de l’ordre de cette valeur.
0
2
4
6
8
1 0
0
1
2
3
4
5
α =0,8
Régime apériodique
α =0,4
T 0 =3,14s
Régime critique
m=0,1kg
x max =5cm
x(t) (cm)
t (s)
Figure 5.11 • Évolution de l’élongation d’un ressort amorti en régime
critique (trait plein) et en régime apériodique (trait pointillé).
5.4. Régime apériodique
Le régime est dit apériodique lorsque l’oscillateur est tellement amorti qu’il ne peut plus
osciller. Il correspond à a > 0. La solution de l’équation différentielle est de la forme
suivante :
x (t) = e
−
a
2m
t (Ae
−t
q
a 2
4m 2 −v
2
0 + Be
t
q
a 2
4m 2 −v
2
0 )
Le mouvement de l’oscillateur n’est plus périodique et la masse m revient dans sa position d’équilibre au bout d’un temps qui en principe tends vers l’infini. Si nous fixons les
conditions initiales pour que x(0) = x max et v(0) = 0 comme précédemment il vient :
A =
x max
2
1 −
a
2mv
B =
x max
2
1 +
a
2mv
avec v =
a 2
4m 2 − v
2
0 .