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Mécanique du point
P
→
u
T
→
l
Figure 5.6 • Pendule simple constitué d’une masse accrochée à un fil de longueur l.
L’application du théorème du moment cinétique dans lequel seul le poids posède un moment non nul :
− →
M O
− →
F ext
=
d
−→
OM ∧
− →
F ext
d t
conduit après projection sur l’axe de rotation à :
mgl sin u = ml
dv
dt
= ml
2 ¨
u =⇒ ¨
u +
g
l
sin u = 0
(5.2)
Nous rappelons que l’équation 5.2 est celle d’un oscillateur anharmonique car elle n’est
pas linéaire.
Pour u « petit » nous avons, au premier ordre en u, sin u u. Cette équation devient linéaire et s’écrit :
¨
u +
g
l
u = 0
On retrouve une équation différentielle identique à celles rencontrées précédemment ce
qui montre que le pendule simple est assimilable à un oscillateur harmonique dans la
limite des petites oscillations (u <10
◦ ).
4. ÉTUDE ÉNERGÉTIQUE DES OSCILLATEURS
4.1. Diagrammes d’énergie
Un oscillateur harmonique ne subit pas de forces de frottement ; il est donc mécaniquement isolé et son énergie mécanique se conserve. Nous pouvons donc écrire que :
E = E C + E P = cste
Il est possible de représenter graphiquement l’évolution de ces trois énergies en
fonction du paramètre de mouvement de l’oscillateur. La figure 5.7 donne l’énergie mécanique d’un pendule élastique et d’un pendule simple de faible amplitude
(u < 10
◦ =⇒ sin u u, cos u 1−
u
2
2
).
Mécanique du point
P
→
u
T
→
l
Figure 5.6 • Pendule simple constitué d’une masse accrochée à un fil de longueur l.
L’application du théorème du moment cinétique dans lequel seul le poids posède un moment non nul :
− →
M O
− →
F ext
=
d
−→
OM ∧
− →
F ext
d t
conduit après projection sur l’axe de rotation à :
mgl sin u = ml
dv
dt
= ml
2 ¨
u =⇒ ¨
u +
g
l
sin u = 0
(5.2)
Nous rappelons que l’équation 5.2 est celle d’un oscillateur anharmonique car elle n’est
pas linéaire.
Pour u « petit » nous avons, au premier ordre en u, sin u u. Cette équation devient linéaire et s’écrit :
¨
u +
g
l
u = 0
On retrouve une équation différentielle identique à celles rencontrées précédemment ce
qui montre que le pendule simple est assimilable à un oscillateur harmonique dans la
limite des petites oscillations (u <10
◦ ).
4. ÉTUDE ÉNERGÉTIQUE DES OSCILLATEURS
4.1. Diagrammes d’énergie
Un oscillateur harmonique ne subit pas de forces de frottement ; il est donc mécaniquement isolé et son énergie mécanique se conserve. Nous pouvons donc écrire que :
E = E C + E P = cste
Il est possible de représenter graphiquement l’évolution de ces trois énergies en
fonction du paramètre de mouvement de l’oscillateur. La figure 5.7 donne l’énergie mécanique d’un pendule élastique et d’un pendule simple de faible amplitude
(u < 10
◦ =⇒ sin u u, cos u 1−
u
2
2
).