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Mécanique du point
La forme de la solution de l’équation différentielle peut être écrite de différentes façons ;
toutefois si l’écriture diffère (voir ci-dessus) la solution x(t) reste la même. La somme d’un
sinus et d’un cosinus affectés d’amplitudes A et B est bien équivalente à un cosinus ou un
sinus affecté d’une certaine phase. La dernière forme x(t) est la solution dans l’espace des
complexes et seule la partie réelle de x(t) correspond à la solution physique de l’équation
différentielle.
3. EXEMPLES D’OSCILLATEURS HARMONIQUES
3.1. Pendule élastique horizontal
Nous considérons le mouvement d’une masse m accrochée à un ressort de raideur k assujettie à se déplacer sans frottements sur un plan horizontal (figure 5.4). Le mouvement
étant rectiligne, nous étudions le système masse m dans le référentiel galiléen R(O, x, y, t)
muni de la base ( − → u x , − → u y ). Le point O correspond à la position d’équilibre de la masse m,
le ressort étant au repos (ni étiré, ni comprimé).
0
R
→
P
→
T
→
l o
x
l
x
O
x
ux
→
Figure 5.4 • Pendule élastique horizontal.
L’application de la RFD conduit à :
m − → a =
− →
P +
− →
T +
− →
R
(5.1)
avec :
− →
P =
0
−mg
− →
T =
−kx
0
− →
R =
0
R
− → a =
x
0
Par projection de la RFD sur l’axe des abscisses, on obtient l’équation différentielle du
mouvement du pendule élastique, soit :
¨ x +
k
m
x = 0
qui correspond bien à l’équation différentielle du mouvement d’un oscillateur harmonique. La solution est bien sûr sinusoïdale. La pulsation et la période du mouvement sont
données par :
v =
k
m
⇒ T =
2p
v
= 2p
m
k