Integrating, we obtain,
ln f ¼ À
2γ
2
þ 7γ À 3
ð
Þ
7 À γ
ð
Þ
ln γ
2
À 1
À
Á À γ À 1
ð
Þη
nÀ1
Â
à þ constant,
ð5:40Þ
and the constant of integration can be obtained since f is known at η ¼ 1, hence,
ln
2γ
γ þ 1
¼ À
2γ
2
þ 7γ À 3
ð
Þ
7 À γ
ð
Þ
ln γ
2
À 1
À
Á À γ À 1
ð
Þ
Â
à þ constant,
yielding,
constant ¼ ln
2γ
γ þ 1
þ
2γ
2
þ 7γ À 3
ð
Þ
7 À γ
ð
Þ
ln γ
2
À γ
Â
à :
Substituting this back into Eq. (5.40) and simplifying, we obtain,
ln f ¼ ln
2γ
γ þ 1
À
2γ
2
þ 7γ À 3
ð
Þ
7 À γ
ð
Þ
ln
γ þ 1 À η
nÀ1
γ
!
,
and finally,
f η
ð Þ ¼
2γ
γ þ 1
γ þ 1
γ
À
η
7γÀ1
γ 2 À1
À1
γ
! À
2γ 2 þ7γÀ3
7Àγ
ð5:41Þ
after substituting for n.
5.11.3 The Density ψ
Let us now substitute ϕ(η) and ϕ
0 (η) in Eq. (5.10), where ϕ(η) is given by,
ϕ η
ð Þ ¼
η
γ
þ αη
n
:
Hence,
ψ
0
ψ
¼
3 þ n þ 2
ð
Þαγη
nÀ1
γ À 1
ð
Þη À αγη n ,
yielding,
5.11 Taylor’s Analytical Approximations for Velocity, Pressure and Density
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