Contents
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11 Quantum Manybody Systems, Tensor Networks and Neural
Networks.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
11.1 Neural Network Wave Function . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
11.2 Tensor Networks and Neural Networks . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
11.2.1 Tensor Network .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
11.2.2 Tensor Network Representation of Restricted
Boltzmann Machines . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
12 Application to Superstring Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
12.1 Inverse Problems in String Theory . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
12.1.1 Compactification as an Inverse Problem.. . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
12.1.2 The Holographic Principle as an Inverse Problem . . . . . . . . 175
12.2 Curved Spacetime Is a Neural Network .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
12.2.1 Neural Network Representation of Field Theory in
Curved Spacetime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
12.2.2 How to Choose Input/Output Data. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
12.3 Emergent Spacetime on Neural Networks . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
12.3.1 Is AdS Black Hole Spacetime Learned?.. . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
12.3.2 Emergent Spacetime from Material Data .. . . . . . . . . . . . . . . . . 185
12.4 Spacetime Emerging from QCD . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
Column: Black Holes and Information . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
13 Epilogue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
13.1 Neural Network, Physics and Technological Innovation
(Akio Tomiya) .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
13.2 Why Does Intelligence Exist? (Akinori Tanaka) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
13.3 Why do Physical Laws Exist? (Koji Hashimoto) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
Index . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
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Networks.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
11.1 Neural Network Wave Function . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
11.2 Tensor Networks and Neural Networks . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
11.2.1 Tensor Network .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
11.2.2 Tensor Network Representation of Restricted
Boltzmann Machines . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
12 Application to Superstring Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
12.1 Inverse Problems in String Theory . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
12.1.1 Compactification as an Inverse Problem.. . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
12.1.2 The Holographic Principle as an Inverse Problem . . . . . . . . 175
12.2 Curved Spacetime Is a Neural Network .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
12.2.1 Neural Network Representation of Field Theory in
Curved Spacetime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
12.2.2 How to Choose Input/Output Data. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
12.3 Emergent Spacetime on Neural Networks . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
12.3.1 Is AdS Black Hole Spacetime Learned?.. . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
12.3.2 Emergent Spacetime from Material Data .. . . . . . . . . . . . . . . . . 185
12.4 Spacetime Emerging from QCD . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
Column: Black Holes and Information . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
13 Epilogue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
13.1 Neural Network, Physics and Technological Innovation
(Akio Tomiya) .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
13.2 Why Does Intelligence Exist? (Akinori Tanaka) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
13.3 Why do Physical Laws Exist? (Koji Hashimoto) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
Index . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205