1.3 Solutions
37
Put x = R cos θ, dx = −R sin θ dθ, y = R sin θ, dy = R cos θ, z = 0, 0 <
θ < 2π
A . dr = −2R
2
sin
2
θ dθ − R
2
cos
2
θ dθ
= −2π R
2
− π R
2
= −3π R
2
1.12 (a) ∇ × (∇Φ) =
i j k
∂
∂ x
∂
∂ y
∂
∂z
∂Φ
∂ x
∂Φ
∂ y
∂Φ
∂z
= i
∂
2
Φ
∂ y∂z
−
∂
2
Φ
∂z∂ y
− j
∂
2
Φ
∂ x∂z
−
∂
2
Φ
∂z∂ x
+ k
∂
2
Φ
∂ x∂ y
−
∂
2
Φ
∂ y∂ x
= 0
because the order of differentiation is immaterial and terms in brackets
cancel in pairs.
(b) To show ∇.(∇ × V ) = 0
ˆ
i
∂
∂ x
+ ˆ j
∂
∂ y
+ ˆ
k
∂
∂z
.
i j k
∂
∂ x
∂
∂ y
∂
∂z
V x V y V z
=
ˆ
i
∂
∂ x
+ ˆ j
∂
∂ y
+ ˆ
k
∂
∂z
·
ˆ
i
∂
∂ y
∂
∂z
V y V z
− ˆ j
∂
∂ x
∂
∂z
V x V z
+ ˆ
k
∂
∂ x
∂
∂ y
V x V y
=
∂
∂ x
∂
∂ y
∂
∂z
V y V z
−
∂
∂ y
∂
∂ x
∂
∂z
V x V z
+
∂
∂z
∂
∂ x
∂
∂ y
V x V y
=
∂
∂ x
∂
∂ y
∂
∂z
∂
∂ x
∂
∂ y
∂
∂z
V x V y V z
= 0
The value of the determinant is zero because two rows are identical.
1.13 Φ = x
2 y − 2xz
3
(a) ∇Φ =
ˆ
i
∂
∂ x
+ ˆ j
∂
∂ y
+ ˆ
k
∂
∂z
(x
2 y − 2xz
3 )
= 2(x y − z
3 ) ˆ
i + x
2 ˆ j + 6xz
2 ˆ
k
(b) ∇
2
Φ =
∂
2
∂ x 2 +
∂
2
∂ y 2 +
∂
2
∂z 2
(x
2 y − 2xz
3 )
= 2y − 12xz
1.14 (a) ∇(x
2 y + xz) =
ˆ
i
∂
∂ x
+ ˆ j
∂
∂ y
+ ˆ
k
∂
∂z
(x
2 y + xz)
= (2x y + z) ˆ
i + x
2 ˆ j + x ˆ
k
= − ˆ
i + ˆ j + ˆ
k