Chapitre 10 – Variables aléatoires à densité
5. On suppose qu’il y a usure, c’est-à-dire que h croît sur ]0, +∞[. On a pour (s, t) ∈ (R
∗
+ )
2 ,
L(s + t) − L(s) =
s+t
0
h(u) du −
s
0
h(u) du =
s+t
s
h(u) du,
ce qui s’écrit avec le changement de variable v = u − s,
L(s + t) − L(s) =
t
0
h(v + s) dv.
Comme h croît, on a h(v + s) h(v) pour tout v ∈ [0, t] donc
L(s + t) − L(s)
t
0
h(v) dv L(t)
et
L(s + t) L(s) + L(t).
On en déduit
P([T > s + t]) = e
−L(s+t)]
e
−L(s)−L(t)
e
−L(s) e
L(t)
P([T > s])P([T > t]).
9.
1. Comme f est continue sur ]0, +∞[, F est dérivable sur ]0, +∞[, de dérivée
f > 0. Comme de plus elle est continue sur [0, +∞[, elle est strictement croissante sur
[0, +∞[. Comme f est nulle sur ] − ∞, 0[, on a F(0) = 0 et, par propriété des fonctions
de répartition, lim
x→+∞
F(x) = 1. On en déduit que F réalise une bijection de [0, +∞[ sur
[0, 1[. En particulier, il existe un unique réel m tel que F(m) =
1
2
.
2. Une densité de la loi exponentielle est définie par f (x) = 0 si x < 0 et f (x) = le
−lx si
x 0. Elle vérifie les hypothèses. La fonction de répartition est définie par F(x) = 1−e
−lx
pour x 0. La médiane m vérifie e
−lm =
1
2
donc −lm = − ln 2 et m =
ln 2
ln m
·
3. a. La fonction f est bien nulle sur ] − ∞, 0], strictement positive et continue sur ]0, +∞[.
b. La fonction F est nulle sur R − et pour x 0, F(x) =
x
0
te
−t dt. On intègre par
parties, en intégrant l’exponentielle. On obtient
F(x) =
−te
−t
x
0
+
x
0
e
−t dt =
−te
−t
− e
−t
x
0
= 1 − (x + 1)e
−x .
c. On a F(1) = 1 −
2
e
et F(2) = 1 −
3
e 2 .
De e < 3, on déduit
2
e
2
3
et F(1) <
1
2
. De même, e
2 > 6 donc
3
e 2 <
1
2
et F(2) >
1
2
.
On a donc F(1) < F(m) < F(2). Comme F est strictement croissante sur [0, +∞[, on
en déduit 1 < m < 2.
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