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SOLUTIONS
Solutions
7.
Si on lance deux dés, un résultat est un couple (i, j) ∈ [[1, 6]]
2 . Il y a donc 36 résultats
possibles, équiprobables. Il y a quatre couples qui donnent une somme de 5 (les couples
(i, 5 − i), avec 1 i 4) et six couples qui donnent une somme de 7 (les couples (i, 7 − i),
avec 1 i 6). La probabilité que la somme soit 5 est donc
4
36
=
1
9
, celle que la somme
soit 7 est
6
36
=
1
6
, la probabilité qu’elle ne soit ni 5 ni 7 est 1 −
6
36
−
4
36
=
13
18
·
1. Notons A k l’événement «au k-ième double lancer, ni la somme de 5 ni celle de 7 n’apparaît» et B k l’événement «la somme de 5 apparaît au k-ième double lancer ». On a alors
E n = A 1 ∩ · · · ∩ A n−1 ∩ B n .
Comme les lancers sont supposés indépendants
P(E n ) = P(A 1 ) · · · P(A n−1 )P(B n ) =
13
18
n−1 1
9
·
2. Il s’agit de calculer P
+∞
n=1
E n
. Par incompatibilité des événements E n ,
P
+∞
n=1
E n
=
+∞
n=1
P(E n ).
En reconnaissant la somme d’une série géométrique, on obtient
P
+∞
n=1
E n
=
1
1 −
13
18
·
1
9
=
2
5
·
3. Notons F k l’événement «une somme de 7 apparaît au k-ième double lancer et sur les k − 1
premiers lancers ni la somme de 5 ni celle de 7 n’apparaît» et C k l’événement «la somme
de 7 apparaît au k-ième double lancer». On a alors F n = A 1 ∩ · · · ∩ A n−1 ∩ C n et, par
indépendance des lancers,
P(F n ) = P(A 1 ) · · · P(A n−1 )P(C n ) =
13
18
n−1 1
6
.
Par incompatibilité des événements F n ,
P
+∞
n
F n
=
+∞
n=1
P(F n ) =
1
1 −
13
18
·
1
6
=
3
5
·
4. Les événements «le jeu s’arrête sur une somme de 5», «le jeu s’arrête sur une somme de 7»
et «le jeu ne s’arrête pas» forment un système complet d’événements. Donc la somme des
probabilités de ces trois événements est égale à 1. Ainsi la probabilité que le jeu ne s’arrête
pas est nulle.
8.
1. On note E n l’événement « A n joue » et G n l’événement « A n gagne le tournoi ».
On a P(G n /E n ) =
1
8
, car si A n entre dans la partie, il doit gagner trois parties de suite pour
être déclaré vainqueur. On en déduit
p n = P(G n ) = P(G n /E n )P(E n ) =
1
8
q n .
2. Les quatre premiers joueurs sont sûrs de jouer car le tournoi comporte au moins trois
parties.
505
SOLUTIONS
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7.
Si on lance deux dés, un résultat est un couple (i, j) ∈ [[1, 6]]
2 . Il y a donc 36 résultats
possibles, équiprobables. Il y a quatre couples qui donnent une somme de 5 (les couples
(i, 5 − i), avec 1 i 4) et six couples qui donnent une somme de 7 (les couples (i, 7 − i),
avec 1 i 6). La probabilité que la somme soit 5 est donc
4
36
=
1
9
, celle que la somme
soit 7 est
6
36
=
1
6
, la probabilité qu’elle ne soit ni 5 ni 7 est 1 −
6
36
−
4
36
=
13
18
·
1. Notons A k l’événement «au k-ième double lancer, ni la somme de 5 ni celle de 7 n’apparaît» et B k l’événement «la somme de 5 apparaît au k-ième double lancer ». On a alors
E n = A 1 ∩ · · · ∩ A n−1 ∩ B n .
Comme les lancers sont supposés indépendants
P(E n ) = P(A 1 ) · · · P(A n−1 )P(B n ) =
13
18
n−1 1
9
·
2. Il s’agit de calculer P
+∞
n=1
E n
. Par incompatibilité des événements E n ,
P
+∞
n=1
E n
=
+∞
n=1
P(E n ).
En reconnaissant la somme d’une série géométrique, on obtient
P
+∞
n=1
E n
=
1
1 −
13
18
·
1
9
=
2
5
·
3. Notons F k l’événement «une somme de 7 apparaît au k-ième double lancer et sur les k − 1
premiers lancers ni la somme de 5 ni celle de 7 n’apparaît» et C k l’événement «la somme
de 7 apparaît au k-ième double lancer». On a alors F n = A 1 ∩ · · · ∩ A n−1 ∩ C n et, par
indépendance des lancers,
P(F n ) = P(A 1 ) · · · P(A n−1 )P(C n ) =
13
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n−1 1
6
.
Par incompatibilité des événements F n ,
P
+∞
n
F n
=
+∞
n=1
P(F n ) =
1
1 −
13
18
·
1
6
=
3
5
·
4. Les événements «le jeu s’arrête sur une somme de 5», «le jeu s’arrête sur une somme de 7»
et «le jeu ne s’arrête pas» forment un système complet d’événements. Donc la somme des
probabilités de ces trois événements est égale à 1. Ainsi la probabilité que le jeu ne s’arrête
pas est nulle.
8.
1. On note E n l’événement « A n joue » et G n l’événement « A n gagne le tournoi ».
On a P(G n /E n ) =
1
8
, car si A n entre dans la partie, il doit gagner trois parties de suite pour
être déclaré vainqueur. On en déduit
p n = P(G n ) = P(G n /E n )P(E n ) =
1
8
q n .
2. Les quatre premiers joueurs sont sûrs de jouer car le tournoi comporte au moins trois
parties.
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