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SOLUTIONS
Solutions
Comme P, p 0 et q 0 ne dépendent pas de n, p n et q n sont des fonctions affines de (−q)
n .
Comme ((−q)
n ) converge vers 0, on en déduit que les suites (p n ) et (q n ) convergent. On
note p ∞ et q ∞ leur limite. En faisant tendre n vers +∞, on obtient
p ∞
q ∞
= P
1 0
0 0
P
−1
p 0
q 0
.
On a P
1 0
0 0
=
a 0
b 0
, où
a
b
est la première colonne de P. Cette colonne contient
un vecteur propre pour la valeur propre 1. On a S−I 2 =
p − 1
1
q
−1
=
−q
1
q −1
et
(S − I 2 )
x
y
=
0
0
si, et seulement si, y = qx. On peut prendre a = 1 et b = q. On pose P
−1
p 0
q 0
=
c
d
.
On obtient
p ∞
q ∞
=
1 0
q 0
c
d
=
c
qc
Comme p n + q n = 1 pour tout entier n, on a par passage à la limite p ∞ + q ∞ = 1. On en
déduit c =
1
1 + q
, puis p ∞ =
1
1 + q
et q ∞ =
q
1 + q
·
5.
1. On note, pour n ∈ N, A n (resp. B n , resp. C n ) l’événement « l’enfant se trouve en
A (resp. en B, resp. en C) après le n-ième saut ». On applique la formule de probabilités
totales avec le système complet d’événements (A n , B n , C n ). On a
a n+1 = P(A n+1 ) = P(A n+1 /A n )P(A n ) + P(A n+1 /B n )P(B n ) + P(A n+1 /C n )P(C n )
=
1
3
a n +
1
3
b n + c n ,
b n+1 = P(B n+1 ) = P(B n+1 /A n )P(A n ) + P(B n+1 /B n )P(B n ) + P(B n+1 /C n )P(C n )
=
1
3
a n +
1
3
b n ,
c n+1 = P(C n+1 ) = P(C n+1 /A n )P(A n ) + P(C n+1 /B n )P(B n ) + P(C n+1 /C n )P(C n )
=
1
3
a n +
1
3
b n .
On obtient X n+1 = AX n , où
A =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1
3
1
3
1
1
3
1
3
0
1
3
1
3
0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
Une récurrence immédiate montre que, pour tout n ∈ N, X n = A
n X 0 .
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