Chapitre 3 – Réduction
De même
X ∈ E 2 (B) ⇔ (B − 2I)X = 0 ⇔
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
−2x − y + z = 0
−x − 2y − z = 0
x − y − 2z = 0
⇔
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
−2x − y + z = 0
0 − 3y − 3z = 0
−3y − 3z = 0
L 2 ← 2L 2 − L 1
L 3 ← 2L 3 + L 1
⇔
x = z
y = −z
d’où E 2 (B) = Vect
1
−1
1
(et 2 est bien une valeur propre de B).
4. Soit l une valeurs propre de A et X un vecteur propre associé, on a alors
BX = (A
2 + 2I)X = A
2 X + 2X = l
2 X + 2X = (l
2 + 2)X,
et donc l
2 + 2 est valeur propre de B.
Comme l
2 + 2 2 pour tout réel l et que Sp(B) = {−1, 2}, la seule valeur propre réelle
possible de A est 0. Si A était diagonalisable sur R, elle serait semblable à la matrice nulle.
Elle serait donc nulle, ce qui est absurde. A n’est pas diagonalisable sur R.
5. De la relation de la question 2, on déduit que B ×
1
2
(B − I) = I. La matrice B est donc
inversible et B
−1 =
1
2
(B − I).
6. a. En évaluant l’égalité en −1 et 2, on trouve que a n et b n sont solutions d’un système
linéaire que l’on résout
−a n + b n = (−1)
n
2a n + b n = 2
n
⇔
−a n + b n = (−1)
n
3b n = 2
n + 2(−1)
n
L 2 ← L 2 + 2L 1
⇔
−a n + b n = (−1)
n
3b n = 2
n + 2(−1)
n
L 2 ← L 2 + 2L 1
⇔
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
a n =
1
3
(2
n
− (−1)
n )
b n =
1
3
(2
n + 2(−1)
n )
b. En évaluant l’égalité précédente en B, il vient pour n 2,
B
n =
1
3
(2
n
− (−1)
n )B +
1
3
(2
n + 2(−1)
n )I,
formule également valable pour n = 0 et n = 1.
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