Chapitre 3 – Réduction
Après calculs, on trouve P
−1 =
1
4
0 −16
4
−1
4 −1
2 −4
2
, d’où
A
n =
1
4
−1 −4 0
0
2 1
1
8 4
⎛
⎝
(−1)
n
0
0
0
3
n n3
n−1
0
0
3
n
⎞
⎠
0 −16
4
−1
4 −1
2 −4
2
=
1
4
⎛
⎝
(−1)
n+1
−4 · 3
n
−4n · 3
n−1
0
2· 3
n
3
n + 2n · 3
n−1
(−1)
n
8 · 3
n
4 · 3
n + 8n · 3
n−1
⎞
⎠
0 −16 4
−1
4
−1
2
−4
2
=
1
4
⎛
⎝
(12 − 8n)3
n−1
16(−1)
n + (−48 + 16n)3
n−1
4(−1)
n+1 + (12 − 8n)3
n−1
4n · 3
n−1
(12 − 8n)3
n−1
4n · 3
n−1
16n · 3
n−1
16(−1)
n+1 + (48 − 32n)3
n−1
4(−1)
n + 16n · 3
n−1
⎞
⎠
=
⎛
⎝
(3 − 2n)3
n−1
4(−1)
n + (−12 + 4n)3
n−1
(−1)
n+1 + (3 − 2n)3
n−1
n · 3
n−1
(3 − 2n)3
n−1
n · 3
n−1
4n · 3
n−1
4(−1)
n+1 + (12 − 8n)3
n−1
(−1)
n + 4n · 3
n−1
⎞
⎠ .
16.
1. Vérifions les trois points :
• C(u) est une partie de L(E).
• C(u) est non vide, puisqu’il contient par exemple 0 (ou encore Id E , u, . . . ).
• Soient v, w deux éléments de C(u) et l un réel, d’après les propriétés usuelles des
opérations sur les applications linéaires, nous avons
u(lv + w) = luv + uw = lvu + wu = (lv + w)u,
autrement dit lv + w ∈ C(u).
C(u) est bien un sous-espace vectoriel de L(E).
2. Supposons que uv = vu.
Soit l une valeur propre et x ∈ E l (u), alors
(vu)(x) = v(lx) = lv(x)
mais aussi (vu)(x) = (uv)(x) = u(v(x)).
D’où la relation u(v(x)) = lv(x). Par définition, nous avons donc v(x) ∈ E l (u).
L’endomorphisme v laisse stable les sous-espaces propres de u.
3. Supposons que v laisse stable les sous-espaces propres de u.
Soient l 1 , l 2 , . . . , l n les valeurs propres de u. Comme u est diagonalisable E =
n
k=1
E lk .
Soit x un vecteur de E. Il existe (x 1 , . . . , x n ) ∈ E l1 × · · · × E ln tel que x =
n
k=1
x k .
On a alors
u(v(x)) = u
v
n
k=1
x k
= u
n
k=1
v(x k )
=
n
k=1
u(v(x k )) =
n
k=1
l k v(x k ),
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