Chapitre 3 – Réduction
• Si f admet 2a comme période, il en résulte immédiatement que T (f )
(x) = 0 pour tout
réel x. Par voie de conséquence T(f ) est constante.
• Si T (f ) est constante alors, sa dérivée est nulle. Donc pour tout réel x, f (x+a) = f (x−a),
ce qui équivaut à
∀x ∈ R, f (x) = f (x + 2a),
autrement dit f est périodique de période 2a.
3. Remarquons déjà que pour tout f ∈ E, T (f ) est C
1 sur R et a fortiori continue sur R, ce
qui signifie que T est à valeurs dans E.
Soient f, g ∈ E et l ∈ R, nous avons pour tout réel x :
T a (lf + g)(x) =
1
2a
x+a
x−a
(lf + g)(t)dt =
1
2a
x+a
x−a
lf (t) + g(t)dt
= l ×
1
2a
x+a
x−a
f (t)dt +
1
2a
x+a
x−a
g(t)dt
= lT a (f )(x) + T a (g)(x)
= (lT a (f ) + T a (g))(x)
Il en résulte que T a (lf + g) = lT a (f ) + T a (g) et donc T a est un endomorphisme de E.
Soit f ∈ E, on sait déjà que si f ∈ Ker(T a ) alors f est périodique de période 2a.
Réciproquement, soit f une fonction périodique de E de période 2a, alors T a (f ) est
constante et
T a (f ) = 0 ⇔
a
−a
f (t)dt = 0.
Autrement dit le noyau de T a est constitué des applications périodiques f de E de période
2a et telles que
a
−a
f (t)dt = 0.
D’après la question 1, pour tout f ∈ E, T a (f ) est C
1 sur R. Or il existe des fonctions
continues qui ne sont pas C
1 , donc T a n’est pas surjectif.
4. Soit f ∈ R n [X] telle que pour tout réel x, f (x) =
n
k=0
a k x
k , on a alors
∀x ∈ R, T a (f )(x) =
1
2a
x+a
x−a
n
k=0
a k t
k dt =
1
2a
n
k=0
a k
x+a
x−a
t
k dt =
1
2a
n
k=0
t
k+1
k + 1
x+a
x−a
=
1
2a
n
k=0
a k
(x + a)
k+1
− (x − a)
k+1
k + 1
Les termes de la somme pour k n − 1 sont clairement de degré inférieur ou égal à n. De
plus le coefficient de degré n + 1 de (x + a)
n+1 est x
n+1 et celui de (x − a)
n+1 est aussi x
n+1 ,
donc (x + a)
n+1
− (x − a)
n+1 est aussi de degré inférieur à n. Par voie de conséquence T a (f )
est une fonction polynômial de degré inférieur où égal à n.
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