Chapitre 2 – Applications linéaires
4. Nous avons bien u
2 = u parce que :
−2 4
−1 2
−2 4
−1 2
=
−2 4
−1 2
.
Ici H = mu = Ker u = Vect(2, 1). N’importe quel projecteur p d’image H convient.
Prenons comme sous-espace supplémentaire S = Ker(p) = Vect
1
0
. Nous avons
alors E = H ⊕ S. Décomposons le deuxième vecteur de la base selon cette somme directe
0
1
=
2
1
− 2
1
0
.
Nous avons maintenant les vecteurs images de la base canonique par un projecteur p sur
H parallèlement à S, sa matrice est P =
0 2
0 1
.
Un calcul matriciel nous donne immédiatement PU − UP = U.
8.
⇒ Sens direct. Soit f tel que mf = Ker f .
Pour tout x de E, nous avons f (x) ∈ ∈mf ⊂ Ker f et f
f (x)
= 0 ; l’endomorphisme f ◦ f est
donc l’endomorphisme nul.
Le théorème du rang nous donne
n = dim(E) = dim(mf ) + dim(Ker f
= 2 dim(mf ).
⇐ Réciproque. Soit f tel que
f ◦ f = 0 et n = 2 dim(mf )
.
Le théorème du rang nous impose dim(mf ) = dim(Ker f ).
Nous avons Ker f ⊂ ⊂mf parce que f ◦ f = 0 ; et comme dim(Ker f ) = dim(mf ) nous avons
Ker f = mf
9.
1. a. ⇒ Sens direct. Soit f ∈ L(E, F) et g ∈ L(F, G) deux endomorphismes
tels que Ker(g ◦ f ) = Ker(f ).
Soit x ∈ Ker g ∩ ∩mf , il existe alors t ∈ E tel que x = f (t). Nous avons
0 = g(x) = g
f (t)
= g ◦ f (t), donc t ∈ Ker g ◦ f = Ker f et x = f (t) = 0.
Ceci démontre que Ker g ∩ ∩mf = {0}.
⇐ Réciproque. Soit f ∈ L(E, F) et g ∈ L(F, G) deux endomorphismes tels que
Ker g ∩ ∩mf = {0}.
Remarquons tout d’abord que l’on a toujours Ker f ⊂ Ker(g ◦ f , en effet, si l’on a
f (x) = 0 alors on a g
f (x)
= 0.
Soit x ∈ Ker(g ◦ f ), alors f (x) ∈ ∈mf et f (x) ∈ Ker g donc f (x) = 0 et x ∈ Ker f .
Ceci démontre Ker(g ◦ f ) = Ker(f ).
b. ⇒ Sens direct. Soit f ∈ L(E, F) et g ∈ L(F, G) deux endomorphismes tels que
m(g ◦ f ) = m(g).
Soit x ∈ F, alors il existe t ∈ E tel que g ◦ f (t) = g(x). Nous avons x =
x − f (t)
+ f (t)
avec f (t) ∈ ∈mf et g
x − f (t)
= g(x) − g ◦ f (t) = 0, c’est-à-dire
x − f (t)
∈ Ker g.
Ceci démontre que Ker g + mf = F.
⇐ Réciproque. Soit f ∈ L(E, F) et g ∈ L(F, G) deux endomorphismes tels que
Ker g + mf = F.
Remarquons tout d’abord que l’on a toujours m(g ◦ f ) ⊂ ⊂mg.
Soit x ∈ ∈mg, alors il existe t ∈ F tel que x = g(t) ; il existe alors u ∈ Ker g et v ∈ ∈mf
tels que t = u + v et donc tel que x = g(t) = g(u + v) = g(u) + g(v) = g(v) ; et enfin il
existe w ∈ E tel que w = f (v).
Nous avons g ◦ f (w) = g
f (w)
= g(v) = x et x ∈ ∈mg ◦ f .
Ceci démontre que m(g ◦ f ) = m(g).
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