Chapitre 2 – Applications linéaires
b. On a pour toute suite u = (u n ) n∈N l’égalité f ◦ g(u) = u ; nous avons donc f ◦ g = Id R N .
Nous savons que ni f ni g ne sont bijectives, on ne peut pas parler de fonction réciproque.
Il existe donc des endomorphismes d’un espace E injectifs et non surjectifs si la dimension de E est infinie, .
4.
1. Si f était bijective alors f
k serait bijective comme composée de bijections. Or
f
k = 0, donc f n’est pas bijective. Dans le cas où E est de dimension finie, les propriétés f
injective, f surjective et f bijective sont équivalentes pour un endomorphisme de E ; f est
donc ni injective ni surjective.
2. a. Soient l 0 , . . . , l p−1 des scalaires tels que
p−1
k=0
l k f
k (x 0 ) = 0.
Nous avons ∀k p, f
k (x 0 ) = 0 et f
p−1 (x 0 ) = 0. D’où nous avons successivement
0 = f
p−1
p−1
k=0
l k f
k (x 0 )
=
p−1
k=0
l k f
p+k−1 (x 0 ) = l 0 f
p−1 (x 0 ) =⇒ l 0 = 0
0 = f
p−2
p−1
k=0
l k f
k (x 0 )
=
p−1
k=0
l k f
p+k−2 (x 0 ) = l 1 f
p−1 (x 0 ) =⇒ l 1 = 0
0 = f
p−3
p−1
k=0
l k f
k (x 0 )
=
p−1
k=0
l k f
p+k−3 (x 0 ) = l 2 f
p−1 (x 0 ) =⇒ l 2 = 0
et ainsi de suite jusqu’à
0 = f
p−1
k=0
l k f
k (x 0 )
=
2p−2
k=p−1
l k f
k+1 (x 0 ) = l p−1 f
p−1 (x 0 ) =⇒ l p−1 = 0.
Les scalaires l 0 , . . . , l p−1 sont nuls et la famille (x 0 , f (x 0 ), . . . , f
p−1 (x 0 )) est libre.
b. On vient de trouver une famille libre de E qui compte p vecteurs. On sait alors que
p dim(E) = n.
5.
1. Soient P, Q deux polynômes dans E et l, m deux scalaires. On a
f (lP + mQ) = (X − a)
(lP + mQ)
− (lP + mQ)(a)
− 2
lP + mQ − (lP + mQ)(a)
= l
(X − a)
P
− P
(a)
− 2
P − P(a)
+ m
(X − a)
Q
− Q
(a)
− 2
Q − Q(a)
= lf (P) + mf (Q)
f est donc un endomorphisme de K n [X].
2. Le rôle important que le scalaire a joue dans cet endomorphisme suggère l’utilisation de la
base
(X − a)
i
0in
(voir l’exercice page 14).
422