Chapitre 1
1.
1. a. Comme (i + 2, −5) = (i + 2)(1, i − 2), on a A = Vect((1, i − 2)). Par ailleurs
comme (1, i − 2) = 0, la famille ((1, i − 2)) est une base de A.
b. Nous savons que C
2 est un C-espace vectoriel de dimension 2 ; la famille
(i, 2), (3, 4i), (i, 7)
est une famille nécessairement liée. Déterminons le rang de cette
famille. Soient a, b, c trois réels, on a
a(i, 2) + b(3, 4i) + c(i, 7) = 0 ⇔
ai + 3b + ci = 0
2a + 4bi + 7c = 0
⇔
ai + 3b + ci = 0
−10b + 5ci = 0 L 2 ← iL 2 − 2L 1
⇔
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
a =
−5c
2
b =
ci
2
·
Par exemple (i, 7) =
5
2
(i, 2) +
−i
2
(3, 4i). On en déduit que B = Vect((i, 2), (3, 4i)).
Ces deux vecteurs sont non-colinéaires la famille ((1, 2), (3, 4)) est une base de B. B est
un sous-espace de dimension 2 de C, lui-même espace de dimension 2, ils sont donc
égaux.
2. Nous savons que R
3 est un R-espace de dimension 3 ; au maximum, nous pouvons avoir
3 vecteurs dans une famille de vecteurs libres et dans ce cas là il forment nécessairement
une famille génératrice de R
3 .
a. Soient a, b, c trois réels tels que a(1, 3, −3) + b(4, 2, −3) + c(−1, 7, 6) = 0. On résout le
système équivalent
a + 4b − c = 0
3a + 2b + 7c = 0
−3a − 3b + 6c = 0
⇔
a + 4b − c = 0
−10b + 10c = 0
9b + 3c = 0
L 2 ← L 2 − 3L 1
L 3 ← L 3 + 3L 1
a + 4b − c = 0
−b + c = 0
3b + c = 0
⇔
a + 4b − c = 0
−b + c = 0
4c = 0 L 3 ← L 3 + 3L 2
⇔ a = b = c = 0
La famille ((1, 3, −3), (4, 2, −3), (−1, 7, 6)) est donc libre ; elle est aussi génératrice de
A par définition de Vect. C’est une base de A et A = R
3 .
b. Soient a, b, c, d quatre réels tels que
a(4, −5, 3) + b(2, 3, −2) + c(4, −16, 10) + d(8, 1, −1) = 0.
On résout le système équivalent
4a + 2b + 4c + 8d = 0
−5a + 3b − 16c + d = 0
3a − 2b + 10c − d = 0
⇔
4a + 2b + 4c + 8d = 0
22b − 44c + 44d = 0
−14b + 28c − 28d = 0
L 2 ← 4L 2 + 5L 1
L 3 ← 4L 3 − 3L 1
⇔
4a + 2b + 4c + 8d = 0
b − 2c + 2d = 0
⇔
4a = −2b − 4c − 8d
b = 2c − 2d
⇔
a = −4c − 2d
b = 2c − 2d
Il existe donc une solution telle que c = 1 et d = 0. Ceci implique que (4, −16, 10)
est combinaison linéaire de ((4, −5, 3), (2, 3, −2)). De même il existe une solution
telle que c = 0 et d = 1, et donc (8, −1, 1) est aussi combinaison linéaire de
((4, −5, 3), (2, 3, −2)).
1.
1. a. Comme (i + 2, −5) = (i + 2)(1, i − 2), on a A = Vect((1, i − 2)). Par ailleurs
comme (1, i − 2) = 0, la famille ((1, i − 2)) est une base de A.
b. Nous savons que C
2 est un C-espace vectoriel de dimension 2 ; la famille
(i, 2), (3, 4i), (i, 7)
est une famille nécessairement liée. Déterminons le rang de cette
famille. Soient a, b, c trois réels, on a
a(i, 2) + b(3, 4i) + c(i, 7) = 0 ⇔
ai + 3b + ci = 0
2a + 4bi + 7c = 0
⇔
ai + 3b + ci = 0
−10b + 5ci = 0 L 2 ← iL 2 − 2L 1
⇔
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
a =
−5c
2
b =
ci
2
·
Par exemple (i, 7) =
5
2
(i, 2) +
−i
2
(3, 4i). On en déduit que B = Vect((i, 2), (3, 4i)).
Ces deux vecteurs sont non-colinéaires la famille ((1, 2), (3, 4)) est une base de B. B est
un sous-espace de dimension 2 de C, lui-même espace de dimension 2, ils sont donc
égaux.
2. Nous savons que R
3 est un R-espace de dimension 3 ; au maximum, nous pouvons avoir
3 vecteurs dans une famille de vecteurs libres et dans ce cas là il forment nécessairement
une famille génératrice de R
3 .
a. Soient a, b, c trois réels tels que a(1, 3, −3) + b(4, 2, −3) + c(−1, 7, 6) = 0. On résout le
système équivalent
a + 4b − c = 0
3a + 2b + 7c = 0
−3a − 3b + 6c = 0
⇔
a + 4b − c = 0
−10b + 10c = 0
9b + 3c = 0
L 2 ← L 2 − 3L 1
L 3 ← L 3 + 3L 1
a + 4b − c = 0
−b + c = 0
3b + c = 0
⇔
a + 4b − c = 0
−b + c = 0
4c = 0 L 3 ← L 3 + 3L 2
⇔ a = b = c = 0
La famille ((1, 3, −3), (4, 2, −3), (−1, 7, 6)) est donc libre ; elle est aussi génératrice de
A par définition de Vect. C’est une base de A et A = R
3 .
b. Soient a, b, c, d quatre réels tels que
a(4, −5, 3) + b(2, 3, −2) + c(4, −16, 10) + d(8, 1, −1) = 0.
On résout le système équivalent
4a + 2b + 4c + 8d = 0
−5a + 3b − 16c + d = 0
3a − 2b + 10c − d = 0
⇔
4a + 2b + 4c + 8d = 0
22b − 44c + 44d = 0
−14b + 28c − 28d = 0
L 2 ← 4L 2 + 5L 1
L 3 ← 4L 3 − 3L 1
⇔
4a + 2b + 4c + 8d = 0
b − 2c + 2d = 0
⇔
4a = −2b − 4c − 8d
b = 2c − 2d
⇔
a = −4c − 2d
b = 2c − 2d
Il existe donc une solution telle que c = 1 et d = 0. Ceci implique que (4, −16, 10)
est combinaison linéaire de ((4, −5, 3), (2, 3, −2)). De même il existe une solution
telle que c = 0 et d = 1, et donc (8, −1, 1) est aussi combinaison linéaire de
((4, −5, 3), (2, 3, −2)).