Solution des exercices
73
vi). Bien sûr 0 = z(0). Avec la notation précédente, pour tout x
= 0 on a z(x) =
c y (x) y avec y = x/x. Par suite, pour tout z = 0, z = z(x) équivaut à
x = c
−1
y (z
2 ) y avec y = z/z. Donc z est une bijection. Elle est de classe
C
p car h l’est et ne s’annule pas (et la fonction
√ est de classe C
∞ sur R
+∗ ).
vii). D’après le iii) et la définition de z, f (x) = d
2 f (0) · (z(x), z(x)) quel que soit x.
(Ainsi la bijection z ramène f à une forme quadratique.)
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vi). Bien sûr 0 = z(0). Avec la notation précédente, pour tout x
= 0 on a z(x) =
c y (x) y avec y = x/x. Par suite, pour tout z = 0, z = z(x) équivaut à
x = c
−1
y (z
2 ) y avec y = z/z. Donc z est une bijection. Elle est de classe
C
p car h l’est et ne s’annule pas (et la fonction
√ est de classe C
∞ sur R
+∗ ).
vii). D’après le iii) et la définition de z, f (x) = d
2 f (0) · (z(x), z(x)) quel que soit x.
(Ainsi la bijection z ramène f à une forme quadratique.)