Solution des exercices
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valant (u 0 , v 0 ) en t = 0 est à valeurs dans T pour tout t ≥ 0, ce qui implique en
particulier que u
= v ≤ 0. Donc u est décroissante et a une limite u ∞ ∈ [0, 1]
en +∞. Ainsi l’ensemble v-limite de (u 0 , v 0 ) est inclus dans T ∩ {(u ∞ , v)}, et
ne peut donc par contenir de cycle. D’après le théorème de Poincaré-Bendixson,
il doit donc contenir un point fixe. Ceci implique nécessairement u ∞ = 0 et
L v (u 0 , v 0 ) = T ∩ {(0, v)} = O.
v). Faisons un changement de variables affine (u, v) → (q, p) tel que l’équation de
la tangente à la courbe instable en A soit p = 0 :
q := u − 1 , p := v − l
+
1 (u − 1) .
Après calcul (en utilisant que (l
+
1 )
2 + cl
+
1 − 1 = 0), le système (8.12) équivaut à
q
= p + l
+
1 q , p
= −(c + l
+
1 ) p + q
2 .
D’autre part, l’équation de la courbe instable en A est de la forme p = h(q)
avec h(0) = 0 et
dh
dq (0) = 0. Et le long de toute orbite sur cette courbe (qui est
invariante par le flot) on a p
=
dh
dq (q)q
. Ceci fournit l’équation implicite pour
h :
−(c + l
+
1 )h(q) + q
2 =
dh
dq
(q)(h(q) + l
+
1 q) .
On déduit (soit en identifiant le coefficient de q
2 dans le développement limité,
soit en évaluant en q = 0 la dérivée seconde de chacun des deux membres) que
h(q) =
q
2
c+3l +
1
+ O(q
3 ). Comme c + 3l
+
1 > 0, ceci montre que, localement, la
courbe instable est dans le demi-plan défini par p ≥ 0, donc dans le triangle T
pour la partie en dessous de l’axe Ou.