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5 • Introduction et outils de base
b) Par définition de x, on a pour tout t ∈ [0, T ],
x(t) =
t
0
l + a(s) x(s)
2 ds ,
d’où (puisque a est à valeurs positives) pour t > 0,
x(t)
t
≤ l + M(t)
2 1
t
t
0
s
2 a(s) ds ,
et donc M(t) ≤ l + mM(t)
2 avec
m := sup
t∈]0,T ]
1
t
t
0
s
2 a(s) ds ,
qui est fini, strictement inférieur à a et indépendant de T par hypothèse.
c) Si 4a l < 1 alors a fortiori 4m l < 1 le polynôme mX
2
− X + l a ses racines
réelles, ce sont (1 ±
√
1 − 4ml)/(2m), et prend donc des valeurs positives
seulement en dehors de ces racines. Puisque M(t) ≤ l + mM(t)
2 on a donc,
quel que soit t, ou bien M(t) ≤ (1 −
√
1 − 4ml)/(2m) ou bien M(t) ≥
(1 +
√
1 − 4ml)/(2m). Or M(0) = l < (1 −
√
1 − 4ml)/(2m). Donc par
continuité de M, on M(t) ≤ (1 −
√
1 − 4ml)/(2m) quel que soit t ∈ [0, T ].
Finalement, ceci prouve que x est bornée sur [0, T ] indépendamment de
T < T
∗ , et contredit le fait qu’elle soit maximale sur [0, T
∗ [ (d’après le
théorème des bouts).
ii). a) Par définition de a, on a
t
0
s
2 a(s) ds =
t
0
s
2
1 + s 2 ds ≤ t .
b) Si x(t) = z(t)
√
1 + t 2 définit une solution de l’équation différentielle x
=
l + x
2 /(1 + t
2 ) on a d’une part x
(t) = l + z(t)
2 , et d’autre part
z
(t)
√
1 + t 2 = x
(t) −
t
√
1 + t 2
z(t) .
Comme
t
√
1+t 2 ∈ [0, 1[ et x(t) ≤ 0 (d’après la formule intégrale vue plus haut),
d’où aussi z(t) ≥ 0, on en déduit
z
2 (t) − z(t) + l ≤ z
(t)
√
1 + t 2 ≤ z(t)
2 + l.
Par ailleurs, si l > 1/4, le polynôme X
2
− X + l ne prend que des valeurs
strictement positives sur R.