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Exercices de synthèse
b) Pour k E {1, ... , n}, on note Bk = 2 �� 1 .
Montrer que pour tout k E {1, ... , n} le réel X k = cotan 2 (B k ) est racine de Pn .
c)
Montrer que le polynôme Pn admet n racines réelles simples. En déduire une décomposition du polynôme Pn en produit de facteurs irréductibles
dans IR[X].
2 - a) Montrer que :
n
.L: cotan 2 (B k) = �(2n - 1) et que
k=l
1
1
1
b) Montrer que pour tout x E]O, 11'/2[ on a: 2 ( )
< - < -- .
·
tan x x2 sin 2 (x)
c) En déduire que :
7r 2 n(2n - 1)
L
n 1 27r 2 n(n + 1)
---- - < - < ---- -
3(2n + 1)2 k=l k2 3(2n + 1)2 ·
3 - Conclure que la série L n 1/n 2 est convergente et donner la valeur de ((2) =
2=!:i 1/n 2 .
Exercice 1.16 Nature de la série L n sin(7re n!)
1 - Soient a un réel non nul et (bn)n une suite bornée. Déterminer, en le justifiant, la nature de la Série de terme général Un = ( -1 r sin (� + (
bn
) ) .
n n n+ 1
2 - a) Montrer que pour tout n EN avec n � 2 le réel p = L:: �:� n!/k! est un
entier naturel pair.
b) En utilisant la formule de Taylor-Lagrange, montrer que pour tout n EN
avec n � 2, il existe Cn E]O, 1[ et Qn EN tel que :
1 _
(
) _ 1_
exp( c n)
en . - 2qn + n+l + n+l + (n + l)(n+2)
c) Montrer que la série L n sin( 7re n!) est une série numérique semi-convergente.