Calcul différentiel
629
Lorsque t-:/:-0, elle se réécrit sous la forme
J(a + tv) - J(a)
=
dfa (v) + J!l /lvll €(t).
t
t
Comme /t//t est borné par 1 et que €(t) tend vers 0 lorsque t tend vers 0, on en
déduit que le taux d'accroissement (!(a + tv) - f(a))/t admet dfa(v) comme
limite lorsque t tend vers O. Ceci montre que l'application f est dérivable selon
le vecteur v au point a E U.
D
Remarque On a vu dans les exemples donnés p. 611 et p. 618 que l'application
f : (xi , x 2 ) E JR. 2 >--+ xi+ 2(x1 + x 2 ) + x� est différentiable et que sa différentielle
en (a1 , a 2 ) E JR. 2 est
df (a 1 , a2) : (h1 , h 2 ) E lR. 2 >--+ 2a1 h1 + 2h1 + 2h 2 + 2a 2 h 2 .
Le théorème 10.1 permet de retrouver l'expression de la différentielle en calculant les dérivées directionnelles de f en (a1 , a 2 ) E IR 2 dans la direction
(h1 ,h 2 )ElR 2 ;ona:
d
f
- lim
f(a1 + th1 ,a 2 + th 2) - f(a1 ,a 2 )
(h 1 , h2) (a 1 ,a2) - t->O
t
=
2a1h1 + 2h1 + 2h 2 + 2a 2 h 2 .
Attention toutefois au fait que le théorème 10.1 ne permet pas d'établir que
l'application f est différentiable en ( a1 , a 2 ) E JR. 2 . Cela est une hypothèse du
théorème. .
o
1 Le théorème 10.1 n'admet pas de réciproque : une application peut admettre
des dérivées selon tous les vecteurs sans pour autant être différentiable (voir
l'exempJe suivant).
Exemple Considérons l'application f de JR. 2 dans lR définie par
Cette application n'étant pas continue en 0 (on vérifie par exemple que l'on
a lim f(x, x 3 - x 2 )
=
- 1 =f. 0), d'après la proposition 10.2, elle n'est pas
X--+Ü
différentiable en O. Par contre, elle admet des dérivées directionnelles en 0
selon tous les vecteurs puisque si v
=
(a, (3) désigne un vecteur non nul de JR. 2
alors on a
f (0 + tv) - f (0) f(ta, tf3)
o:f3
t
t
to: 2 + f3
.
Cette quantité admet toujours une limite quand t tend vers 0 qui vaut 0 si
f3
=
0 et o: sinon.