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Séries absolument convergentes
Rappelons que si la série L n Un n'est définie qu'à partir d'un rang no E N*,
on peut convenir de prolonger la série en une série dont les termes sont définis
pour tout n E N en posant Un = 0 pour tout entier naturel n avec n < no (voir
p. 2). Cette convention ne modifie ni la nature de la série, ni sa somme.
DÉFINITION 1. 7 (Produit de Cauchy de deux séries)
Soient L n Un et L n Vn deux séries numériques. On appelle produit (de Cauchy) des séries L n Un et L n Vn. la série L n Wn dont le terme général est :
n
Wn = L Uk Vn - k·
k=O
On vérifie que (I:(OC), +, x ) a bien une structure d'anneau commutatif.
- La loi + est associative et commutative ; elle possède pour élément neutre
la série nulle et toute série L n Un possède un symétrique pour cette loi qui
est la série de terme général -un.
- La loi x est associative, commutative et distributive sur la loi + ; elle possède
pour élément neutre la série L n en où eo = 1 et pour tout n E N*, en = O.
Toutefois, (I:(OC), +, x ) n'est pas un corps car les séries dont le premier terme
est nul n'ont pas de symétrique pour la loi x (on a wo = uo vo donc si uo = 0,
il n'existe pas de scalaire vo tel que uo vo = eo = 1).
Remarque Ce produit de Cauchy entre séries numériques est du même type
•
'
( 44 )
• ( 4 5 )
que le prodmt entre polynomes ou entre matrices . Dans OC[X] , le polynôme produit des polynômes P = L� = o akX k et Q = Lk = o b k X k est le
polynôme R = L� ! i ckX k où
'
C n = L ak bn - k·
k=O
Dans M v (OC), la matrice produit des matrices A= (ai,j)i, j et B = (bi,j)i,j est
la matrice C = ( ci,j )i,j où
V( i , j ) E {O, . . . , p} 2
p
ci,j = L ai,k b k, j .
k=O
1 Le produit de Cauchy de deux séries convergentes n'est pas nécessairement
une série convergente comme le prouve l'exemple suivant.
<44> Voir la définition 6. 7 p. 221 du Cours de première année.
<4 5 > Voir la définition 10.8 p. 398 du Cours de première année.
Séries absolument convergentes
Rappelons que si la série L n Un n'est définie qu'à partir d'un rang no E N*,
on peut convenir de prolonger la série en une série dont les termes sont définis
pour tout n E N en posant Un = 0 pour tout entier naturel n avec n < no (voir
p. 2). Cette convention ne modifie ni la nature de la série, ni sa somme.
DÉFINITION 1. 7 (Produit de Cauchy de deux séries)
Soient L n Un et L n Vn deux séries numériques. On appelle produit (de Cauchy) des séries L n Un et L n Vn. la série L n Wn dont le terme général est :
n
Wn = L Uk Vn - k·
k=O
On vérifie que (I:(OC), +, x ) a bien une structure d'anneau commutatif.
- La loi + est associative et commutative ; elle possède pour élément neutre
la série nulle et toute série L n Un possède un symétrique pour cette loi qui
est la série de terme général -un.
- La loi x est associative, commutative et distributive sur la loi + ; elle possède
pour élément neutre la série L n en où eo = 1 et pour tout n E N*, en = O.
Toutefois, (I:(OC), +, x ) n'est pas un corps car les séries dont le premier terme
est nul n'ont pas de symétrique pour la loi x (on a wo = uo vo donc si uo = 0,
il n'existe pas de scalaire vo tel que uo vo = eo = 1).
Remarque Ce produit de Cauchy entre séries numériques est du même type
•
'
( 44 )
• ( 4 5 )
que le prodmt entre polynomes ou entre matrices . Dans OC[X] , le polynôme produit des polynômes P = L� = o akX k et Q = Lk = o b k X k est le
polynôme R = L� ! i ckX k où
'
C n = L ak bn - k·
k=O
Dans M v (OC), la matrice produit des matrices A= (ai,j)i, j et B = (bi,j)i,j est
la matrice C = ( ci,j )i,j où
V( i , j ) E {O, . . . , p} 2
p
ci,j = L ai,k b k, j .
k=O
1 Le produit de Cauchy de deux séries convergentes n'est pas nécessairement
une série convergente comme le prouve l'exemple suivant.
<44> Voir la définition 6. 7 p. 221 du Cours de première année.
<4 5 > Voir la définition 10.8 p. 398 du Cours de première année.