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Séries absolument convergentes
PROPOSITION 1.13 (Règle. de D'Alembert)
Soit (un)n une suite numérique dont les termes sont tous non nuls à partir d'un certain rang. On suppose que la suite de terme général lun +i /unl
converge ou tend vers +oo. On note
o
1·
1 Un+l
I
<; = 1m -n ->+oo Un
(e E JR +
u {+oo}) .
- Si e < 1 alors la série L n Un converge absolument.
- Si e > 1 (en particulier si e = +oo) alors la série L n Un diverge grossièrement.
Démonstration !::: Supposons que la suite (vn)n de terme général
Vn = lun+ifunl converge vers un réel i E [O, l[. Notons e le réel strictement
positif égal à !(1 - f.). Puisque la suite (vn)n converge vers i, on a c 4 o >
On en déduit que pour tout n E N avec n ? N,
0 � 1 u:: l I � € + e = !(1 + f.).
On a donc lun +i I � ! (1 + i) lun 1 pour tout n ? N. On montre par récurrence
que ceci implique que
lun +i l � (!(1 + e)r - N lu N I = K (!(1 + e)r
où K = ( ! (1 + i)) N U N . La série de terme général ( ! (1 + i) r converge car
il s'agit d'une série géométrique de raison r = !(1 + e) < 1. On déduit des
critères de comparaison pour les séries à termes positifs (voir le théorème 1.2)
que la série L n !uni converge. On a donc montré que pour e < 1 la série L n Un
convergeait absolument.
!::: Supposons que la suite (vn)n de terme général Vn = lun+i/unl converge vers
un réel f, > 1. Notons i:: le réel strictement positif égal à !(f. - 1). Puisque la
suite ( vn)n converge vers e, on a :
On en déduit que pour tout entier n ? N, on a
!(e + 1) = e - i:: � 1 u:: 1 I � e + i:: = !(3e - 1).
<40> voir la définition 5.1 p. 168 du Cours de première année.