Limite et continuité
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Rappelons < 4 5 l qu'une application linéaire d'un OC-espace vectoriel E vers un
OC-espace vectoriel F est une application de E dans F vérifiant :
1. Vx E E Vy E E f(x +y) = f(x) + f(y),
2. Vx E E Va E OC f(a · x) =a· f(x).
On note CI<(E, F) (ou plus simplement C(E, F)) l'ensemble des applications
linéaires de E dans F. Cet ensemble muni des lois + (somme d'applications)
et · (multiplication d'une application par un scalaire) possède une structure
d'espace vectoriel sur OC.
Rappelons aussi qu'une condition nécessaire et suffisante pour qu'une application f d'un OC-espace vectoriel E vers un OC-espace vectoriel F soit une application linéaire est que pour tout (x, y) E E 2 et pour tout (a, /3) E OC 2 on
ait :
f (a · x + /3 · y) =a· f (x) + f3 · f (y).
Exercice 9.4 Soit f une application linéaire d'un OC-espace vectoriel
normé (E, Il · ll E) vers un OC-espace vectoriel normé (F, Il · ll P ).
1 - Montrer que f(OE) =Op.
2 - Soit U un ouvert non vide de E; montrer que si pour tout x E U on a
f(x) =Op alors f est l'application nulle.
Terminons par quelques rappels de terminologie concernant les applications
linéaires.
X On appelle isomorphisme d'espaces vectoriels une application linéaire de E
dans F qui est bijective. On dit alors que E et F sont isomorphes par f.
X On appelle endomorphisme de E une application linéaire de l'espace E dans
lui-même. On note C(E) l'ensemble des endomorphismes de E. Cet ensemble
muni des lois + (somme d'applications), · (multiplication d'une application
par un scalaire) et o (composition d'applications) possède une structure de
OC-algèbre.
X En particulier, si un endomorphisme f est bijectif alors on dit que f est un
automorphisme de l'espace E. On note QC(E) l'ensemble des automorphismes
de E.
Le théorème suivant est d'une grande importance pratique puisqu'il fournit
plusieurs moyens de montrer qu'une application linéaire est continue. Il indique
en particulier que dès qu'une application linéaire est continue en 0, elle est
continue dans tout l'espace.
( 4 5 ) Voir le chap. 9 du Cou1·s de première année.
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Rappelons < 4 5 l qu'une application linéaire d'un OC-espace vectoriel E vers un
OC-espace vectoriel F est une application de E dans F vérifiant :
1. Vx E E Vy E E f(x +y) = f(x) + f(y),
2. Vx E E Va E OC f(a · x) =a· f(x).
On note CI<(E, F) (ou plus simplement C(E, F)) l'ensemble des applications
linéaires de E dans F. Cet ensemble muni des lois + (somme d'applications)
et · (multiplication d'une application par un scalaire) possède une structure
d'espace vectoriel sur OC.
Rappelons aussi qu'une condition nécessaire et suffisante pour qu'une application f d'un OC-espace vectoriel E vers un OC-espace vectoriel F soit une application linéaire est que pour tout (x, y) E E 2 et pour tout (a, /3) E OC 2 on
ait :
f (a · x + /3 · y) =a· f (x) + f3 · f (y).
Exercice 9.4 Soit f une application linéaire d'un OC-espace vectoriel
normé (E, Il · ll E) vers un OC-espace vectoriel normé (F, Il · ll P ).
1 - Montrer que f(OE) =Op.
2 - Soit U un ouvert non vide de E; montrer que si pour tout x E U on a
f(x) =Op alors f est l'application nulle.
Terminons par quelques rappels de terminologie concernant les applications
linéaires.
X On appelle isomorphisme d'espaces vectoriels une application linéaire de E
dans F qui est bijective. On dit alors que E et F sont isomorphes par f.
X On appelle endomorphisme de E une application linéaire de l'espace E dans
lui-même. On note C(E) l'ensemble des endomorphismes de E. Cet ensemble
muni des lois + (somme d'applications), · (multiplication d'une application
par un scalaire) et o (composition d'applications) possède une structure de
OC-algèbre.
X En particulier, si un endomorphisme f est bijectif alors on dit que f est un
automorphisme de l'espace E. On note QC(E) l'ensemble des automorphismes
de E.
Le théorème suivant est d'une grande importance pratique puisqu'il fournit
plusieurs moyens de montrer qu'une application linéaire est continue. Il indique
en particulier que dès qu'une application linéaire est continue en 0, elle est
continue dans tout l'espace.
( 4 5 ) Voir le chap. 9 du Cou1·s de première année.